导数的几何意义(5)

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1、学科：数学年级：高二课型：新授课课时：1教师姓名：汪淑玲单位：吉林市实验中学【课题】3.1.3导数的几何意义一、教学目标：基础知识：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题能力培养：培养学生数形结合的能力情感态度价值观：了解微积分的重要方法——以曲代直二、教学重点难点要点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义难点：导数的几何意义．教学要点：曲线的切线斜率，导数的几何意义三、学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和学生前面的学习表现而做出的。·学生自学能力较弱

2、，但具有一定的知识储备。·学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极探究数学问题。四、教学策略选择与设计根据学生的实际，在教学中培养了数学逻辑的能力和创新精神。五、教学环境及资源准备本节课是在多媒体教室中进行完成的。六、教学过程设计：导入新课：（1）平均变化率、割线的斜率（2）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？讲授新课：（1）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？第6页共6页问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？⑵切线PT的斜率为多少

3、？容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（4）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（3）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,

4、当时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（4）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.第6页

5、共6页2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点处的导数.解：（1）,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即（2）因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：注意函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系第6页共6页例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据

6、图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．从图3.

7、1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．第6页共6页解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：所以下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：