函数、极限、连续(2)

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1、函数、极限、连续一、考试内容　　函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；　　数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限；　　函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。（一）函数1、函数(Function)的

2、定义设D是一个非空实数集合，若对应关系，对于，按照，对应唯一确定的，称是定义在D上的函数,习惯上也称是的函数，记为.notes：1.两个常用的数学符号：“任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；“存在，它是英文单词Existence“表示存在”打头字母E的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数(1)  幂函数，是常数．图Ⅰ—1(2)指数函数 (是常数且)，．图Ⅰ—2 (3)对数函数(是常数且)，．对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的,是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3

3、(4)三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。余就是余角，就是90度减去正角.2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线".其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数 ，，．图Ⅰ—4余弦函数 ，，．图Ⅰ—5正切函数 ，，，．图Ⅰ—6余切函数 ，，，．图Ⅰ—7(5)反三角函数反正弦函数 ， ，．图Ⅰ—8反余弦函数 ，，．图Ⅰ—9反正切函数 ，，．图Ⅰ—10反余切函数 ，，．图Ⅰ—113、初等函数：由基本初等函数，经过

4、有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：．4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．（1）符号函数：．图I－12（2）高斯函数：函数，称为高斯函数，又称取整函数.对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数，是不减函数，即若则，其图像如图I

5、－13；是以1为周期的周期函数，如图I－14.图I－13图I－14（图I－13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：，．对数一、三而言，在概率论中有极值分布．5、隐函数：若方程能确定与的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数，但其未必能显化．函数都是方程，但方程却不一定是函数．6、参数方程所确定的函数：若参数方程能确定与的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为．7、函数的奇偶性．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式自变量取正整数且无限增大的过程；自变量取正数且无限增

6、大的过程自变量取负数且其绝对值无限增大的过程自变量绝对值无限增大的过程自变量从的右侧向无限趋近的过程自变量从的左侧向无限趋近的过程自变量向无限趋近的过程，也指，为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若，则称为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若，则称为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限;;，;;，，;;;．4、记忆以下几个关于极限的充要条件①

7、；②；③；④．5、无穷小的比较：在同一极限过程中，设，均为无穷小，则①如果，称是比高阶的无穷小；记作；或称是比低阶的无穷小；②如果，称与为同阶无穷小；特别当时，即称与为等价无穷小，记作；③如果，称是的阶无穷小．6、无穷小的等价代换定理：设，，，是同一极限过程中的无穷小，且满足，，及存在或为无穷大，则：.记住当时，下列的等价关系：，．7、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数，，满足①②，，则存在，且．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个

8、常用的结论：（1）存在，（2）．（三）连续1、连续的定义:若，称在处连续，否则，为的间断点．若，称在左连续，若称在右连续．若对，使得连续，称在内连续，即对，求证.进一步，若，称在上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点．跳跃间断点:左极限右极限的间断点．2）第二类间断点:左,右极限