函数与导数3综合

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1、函数与导数3------综合1.已知函数，点.（Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.解：（Ⅰ）当时在上递增，在上递减所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有且，因而的取值范围是.（Ⅱ）当时，即可化为，记记则，在上递减，在上递增.从而上递增因此故（Ⅲ）假设⊥，即=故，由，为(x)=0的两根可得，从而有即≥2，这与<2矛盾.故直线与直线不可能垂直.2.已知函数(常数.(1)求证：

2、无论为何正数，函数的图象恒过点；(2)当时，求曲线在处的切线方程；(3)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）解：(1)∵∴无论为何正数，函数的图象恒过点．(2)当时，，..又，∴曲线在点处的切线方程为．(3)，所以.因为，，于是当时，，当时，.所以在上是增函数，在上是减函数.所以，　　　讨论函数的零点情况如下．①当，即时，函数无零点，在上也无零点；②当，即时，函数在内有唯一零点，而，∴在内有一个零点；③当，即时，由于，，，当时，即时，，，由单调性可知，函数在内有唯一零点、在内有唯一零点满足，在内有两个零点；

3、当时，即时，，而且，由单调性可知，无论还是，在内有唯一的一个零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点；（注：这一类的讨论中，若没有类似“来说明唯一零点在内”的这一步，则扣去这2分）综上所述，有：当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.3.设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ

4、）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．3.设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.解：(I)函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域

5、上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得