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时间:2018-12-22
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1、第三章光学成像系统的频率特性习题[3.1]/一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数:式中,,为圆形衍射屏的半径。问:(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜?(2)给出此屏的焦距的表达式。(3)若用它做成像元件,有什么缺点?解:(1)此衍射屏的复振幅如附图3.1所示,也可把它表示为如下的直角坐标形式:式中,中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减,其他两个指数项与透镜相位变换因子比较,形式相同。当用平面波垂直照射时,这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子表明,该屏具有半径为的圆形孔径。(2)把衍射屏
2、复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子作比较,便得相应的焦距,即对于项,令,则有,相当于会聚透镜。对于项,令,则有,相当于发散透镜。对于这一项,平行光直接透过,仅振幅衰减,可视为。(3)由于该衍射屏具有三重焦距,当用作成像装置时,便可对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源,将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像,而另一个像在无穷远(直接透射光)。当观察者观察其中一个像时,会同时看到另外的离焦像,无法分离开。若用接收屏来接收,则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外,对于多色物体来说,严重的色差也是一个重要的限制,因为焦距都与波长成反比。若用白光作
3、光源,则在像面上可以看到严重的色散现象。附图3.1习题[3.1]图示[3.2]试由式(3.1.10)直接导出式(3.1.11)。解:令P(x,y)=1,将式(3.1.10)积分号内各指数因子展开,利用,消去后,有:令并应用公式:及缩放定理,有再令即得式(3.1.11)。[3.3]/用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。透镜直径为5cm,焦距为20cm,在透镜后面10cm的地方,以透镜轴为中心放着一个物体,其振幅透过率为:假定L=1cm,,大致画出焦平面上沿x轴的强度分布,标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度(第一个零点之间的距离)的数值。解:/由附图3.
4、2可知,物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅,其附图3.2习题[3.3]图示最大线度(对角线方向)为,故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分为:强度分布为:这里因,故未考虑3个函数间的重叠。代入题设数据,得:其中的单位取为cm。在轴上两个一级分量中心离原点距离为:;零级分量第一个零点的位置为;两个一级分量与中央亮斑的的宽度相同,都是而其幅值只为零级分量的。如附图3.3所示。附图3.3归一化强度分布[3.4]将面积为10mm10mm的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。用波长的单色平面波垂直照明,要求在频谱面上测得的强度在频率14
5、0线/mm以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少?解:取面积为的透射物体的对角线方向为轴。因要求在140线/mm以下的空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响,故透镜的口径应满足条件:①按题意,要求:②综合式①、②求得:[3.5]/一菲涅耳波带片的复振幅透过率为:如附图3.4所示。证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜,并确定这些焦距的大小。附图3.4习题[3.5]图示解:/由函数的定义可知:①式中为整数。令,显然上式是的周期函数,周期为,故可展成傅里叶级数:其中,遂有:②上式表
6、示一个方波函数,最后求得复振幅透过率为:或以直角坐标表示成:③上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子,遂有:④换言之,可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜,焦距由式④确定。当偶数时(零除外),,故当用单色平面光波垂直照明时,透射光中不包含为偶数的成分。对于为奇数的情况,透射光中包含有无穷多个球面波。当取负值时,为正,是会聚球面波,它可得到实焦点;当取正值时,为负,是发散球面波,它可得到虚焦点。[3.6]一物体的振幅透过率为一方波,如附图3.5所示,通过一光瞳为圆形的透镜成像。透镜的焦距为10cm,方波的基频是1000线/cm,物距为20cm,波长为cm。问在以
7、下两种情况下:(1)物体用相干光照明时;(2)物体用非相干光照明时;透镜的直径最小应为多少,才会使像平面上出现强度的任何变化?附图3.5习题[3.6]图示解:按题意,系统的截止频率应大于物函数的基频。遂得:(1)相干照明时,。由透镜定律算得。故由求得。(2)非相干照明时,故求得。[3.7]一个衍射受限成像系统,其出射光瞳是边长为的正方形,若在光瞳中心嵌入一个边长为的正方形不透明屏,试画出的函数图像。解:由OTF的几何解释,有:式中为光瞳面积,为光瞳重叠面积。,光瞳重叠面积则应分5个区间来考察,参阅附图3.6。①②③④(见附图3.6(d))⑤这时,从而。综合上述5
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