2、案:B3.若曲线y=x2-1的一条切线平行于直线y=4x-3,则切点坐标为( )A.(2,3)B.(3,8)C.(4,15)D.(-2,3)解析:由导数定义求得y'=2x,设切点坐标为(x0,y0),则由题意知y'=4,即2x0=4,∴x0=2,代入曲线方程得y0=3,故选A.答案:A4.曲线y=在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( )A.B.C.D.解析:Δy=-1==-1,斜率为-1,倾斜角为.答案:D5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解
3、析:∵点(0,b)在直线x-y+1=0上,∴b=1.又y'==2x+a,∴过点(0,b)的切线的斜率为y'
4、x=0=a=1.答案:A6.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 . 解析:∵y'==6x-4,∴y'
5、x=1=2.即所求直线的斜率为2,∴所求直线的方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:2x-y+4=07.曲线y=x2-x+1在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标是 . 解析:k=y'
6、x=2===3.当x=2时,y=3,即切点为(2,3),切线方程为y-3=3(x-2),令x=0,则y
7、=-3.∴切线与y轴交点的纵坐标为-3.答案:-38.已知曲线y=2x2-a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标及a的值.解:设切点P(x0,y0),由y'==(4x+2Δx)=4x,得k=y'=4x0.根据题意4x0=8,x0=2,代入8x-y-15=0得y0=1.故所求切点为P(2,1),a=2-y0=7.9.求曲线y=在点P(2,-1)处的切线方程.解:∵点P(2,-1)在曲线上,∴=-1.∴a=1.∴y=.又∵y'===.∴曲线在P处的切线斜率为y'
8、x=2=1.∴切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.B组1.已知函数y=2x2-3x
9、,则在P(x0,y0)处的切线倾斜角小于时,x0的取值范围是 . 解析:由导数的定义可求得切线斜率k=y'=4x0-3,∵切线倾斜角小于,∴0≤4x0-3<1,解得≤x0<1.答案:2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= . 解析:y'
10、x=3==-.又直线ax+y+1=0的斜率为-a,由题意得-×(-a)=-1,∴a=-2.答案:-23.y=f(x),y=g(x),y=α(x)的图象如图所示:而下图是其对应导数的图象:则y=f(x)对应 ;y=g(x)对应 ;y=α(x)对应 . 解析:由导数的几何
11、意义,y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则y=f(x)对应B.y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷大,故y=g(x)对应C.y=α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故y=α(x)对应A.答案:B C A4.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.解:由题意知与直线x-y-2=0平行,且与抛物线y=x2相切的直线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短.设切点坐标为(x0,),则y'=2x0=1.所以x0=,所以切点坐标为,故切点到直线x-y-2=0的距离d=,所以抛物线上
12、的点到直线x-y-2=0的最短距离为.5.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求直线l1,l2及x轴围成的三角形的面积.解:(1)∵y'===2x+1,∴y'
13、x=1=3.即直线l1的斜率为3,∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2与曲线y=x2+x-2切于点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴2x0+1=-,∴x0=-,∴直线l2的方程为y=
