上海市闸北区2013届高三数学上学期期末教学质量调研试题 理 沪教版

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1、闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模）考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3.本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．已知，其中是虚数单位，那么实数．2．已知的展开式中，的系数为，则．3．设是公比为

2、的等比数列，且，则　　　．4．设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为　　　　．5．函数则的值为　　　　．6．一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为米．（结果化简）7．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为　　　　．8．甲、乙、丙人安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不

3、同的安排方法共有　　　种．9．（理）设不等式的解集为，若，则．10．（理）设函数则方程的实数解的个数为　　　．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（理）曲线与直线有公共点的充要条件是【】A．B．C．D．12．已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为【】A．B．C．D．13．以下四个命题中，真命题的个数为【】①集合的真子集的个数为；②平面内两条直线的夹角等于

4、它们的方向向量的夹角；③设，若，则且；④设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列．A．B．C．D．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知函数，．（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求的取值范围．15．（理）（本题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．

5、试验田四周和三个种植区域之间设有米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为平方米，问：应怎样设计试验田的长与宽，才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？16．（理）（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念．由指数函数在实数集上是单调函数，可知指数函数存在反函数，．请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题：（1）对于任意的正实数，都有；（2）函数是单调函数．17．（理）（本题

6、满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，满足，求的取值范围．18．（理）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2

7、）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．闸北区2013学年度第一学期高三数学期末练习卷答案一、1．；2．2；3．3；4．；5．；6．；7．；8．20；9．；10．（理）二、11．C．12．B．13．B．三、14．解：（3分）（1），是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如，不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）15．解：设的长与宽分别为和，则（3分）（2分）试验田的面积（2分）令，，则，

8、（4分）当且仅当时，，即，此时，．（2分）答:试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2.（1分）16．（理）证明：（1）设，，由题意，有，，（2分）所以，（3分）所以，，即．（2分）（2）当时，是增函数．证明：设，即，又由指数函数是增函数，得，即．（4分）所以，当时，是增函数．（2分）同理，当时，是减函数．（2分）17．（理）解：（1）设，则有，（1分）（3分）由题意，，（2分）所以，椭圆的方程为．（1分）（2）由(1)得，设的方程为，（1分）代入，得（2分）设，则，设的中