2014高考数学总复习 8-5 椭圆练习 苏教版

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1、【高考领航】2014高考数学总复习8-5椭圆练习苏教版【A组】一、填空题1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．解析：∵2c＝4，∴c＝2.又∵＝4，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝4.∴椭圆方程为＋＝1答案：＋＝12．已知如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积等于________．解析：在△PF1F2中，由余弦定理得：2

2、PF1

3、·

4、PF2

5、·cosθ＝

6、PF1

7、2＋

8、PF2

9、2－

10、F1F2

11、2＝(

12、PF1

13、＋

14、PF2

15、)2－2

16、PF1

17、·

18、PF2

19、

20、－

21、F1F2

22、2＝(2a)2－2

23、PF1

24、·

25、PF2

26、－(2c)2(其中c2＝a2－b2)．∴

27、PF1

28、·

29、PF2

30、·(1＋cosθ)＝2b2，∴S△F1PF2＝

31、PF1

32、·

33、PF2

34、·sinθ＝··sinθ＝b2tan.答案：b2tan3．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则b2＝________.解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则

35、OC

36、＝，因tan∠COx＝2，∴sin∠CO

37、x＝，cos∠COx＝，则C的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝.答案：4．(2011·高考江西卷)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c

38、2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝15．(2011·高考浙江卷)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)、(，0)，可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)6．(2012·高考山东卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点

39、，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．解析：由题意知a2＝4b2，故椭圆C的方程为＋＝1.(*)又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，假设它与椭圆的一个交点坐标为(m，m)，由对称性及题意知8×m2＝16，得m2＝4，∴(2,2)在椭圆上，代入(*)式得b2＝5，从而a2＝20.答案：＋＝17．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则B(0，b)，F(c,0)，D(x0，y0)，则＝(c，－b)，＝(x0－c，y0)，由＝2得x0＝c，y

40、0＝－，代入椭圆方程得＋＝1，∴e2＝，∴e2＝，∴e＝.答案：二、解答题8．(2011·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，

41、所以k＝＝.(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为＝，其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ