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《2014届高考数学总复习 第九章 解析几何 课时作业56（含解析）理 新人教a版 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业(五十六)(第二次作业)1．如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )A. B.C.D.答案 B解析 本题考查空间向量的运算．设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)．∴cos，＝＝＝.2.以等腰Rt△ABC的斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折起(如图)，使折起后的△ABC恰好为等边三角形．M为高AD的中点，则直线AB
2、与CM所成角的余弦值为( )A.B.C.D．－答案 C解析 设直角边AB＝AC＝2，则BC＝2.取BD中点N，连接MN，则MN∥AB，所以∠NMC即为所求．∵MN＝AB＝1，MC＝＝NC，在△NCM中，由余弦定理可得cos∠NMC＝.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α＋β等于( )A．120°B．60°C．75°D．90°答案 D解析 建立如图坐标系，设正方体棱长为2.B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,
3、1)．则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)．∴cos〈，〉＝，cos〈，〉＝.∴cosα＝，cosβ＝，sinβ＝，∴α＋β＝90°，故选D.4．如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解析 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D－xyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝
4、
5、
6、
7、cos〈，〉，可得2m
8、＝.解得m＝，所以＝(，，1)．(1)因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)∵ABCD－A′B′C′D′为正方体，∴CD⊥平面AD′.∴为平面AD′的一个法向量，＝(0，－1,0)．又∵＝(，，1)，∴cos〈，〉＝＝－.∴DP与平面AA′D′D所成角为30°.5.已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值．解析 (1)分别以AB，AD，AA1为x，y
9、，z轴建系．∵AD⊥平面ABB1A1，BD与平面AA1B1B夹角为30°，∴∠DBA＝30°.∵AE⊥BD，∴E(，，0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)．∴＝(，，0)，＝(－1,0,1)，cos〈·〉＝－.∴AE与BF所成角的余弦值为.(2)＝(－1,0,1)，＝(－2，，0)，平面BDF法向量a＝(1，，1)，平面AA1B法向量b＝(0,1,0)，∴cos〈a，b〉＝.∴平面BDF与平面AA1B所成二面角的余弦值为.6．(2013·石家庄质检)四棱锥A—BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有B
10、F⊥CM，请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．解析 (1)由俯视图可知平面ABC⊥平面EBCD.又BC＝2，O为BC中点，BE＝1，CD＝2.∵△ABC为等边三角形，F为AC中点，∴BF⊥AC.又平面ABC⊥平面EBCD，且DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BF.又AC∩CD＝C，∴BF⊥平面ACD.∴BF⊥CM.(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系．B(－1,0,0)，C(1,0,0)，E(－1,1,0)，D(1,2,0)．设A(0,0，a),由题意可知平面ABC的法向量为(0,1,0)．设平面ADE法向量n＝(x，
11、y，z)．＝(2,1,0)，＝(1，－1，a)，∴令x＝1，y＝－2，z＝.∴n＝(1，－2，－)．∴＝
12、cosθ
13、＝，解得a＝.由线面角向量知识，可得sinθ＝.7．(2011·全国新课标理)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解析 (1)因为∠DAB＝60°，AB
