2014届高考数学一轮复习 12.2 直接证明与间接证明考点及自测 理 新人教a版

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1、第2讲　直接证明与间接证明【2014年高考会这样考】考查直接证明为主，多隐含于各种题目中，如数列、不等式、立体几何等．考点梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、

2、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：→→→…→(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．【助学·微博】一个思路分析法与综合法相辅相成，对较复杂的

3、问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两点提醒(1)适合使用反证法证明的命题有：①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立命题；⑤直接证明有困难的命题．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．考点自测1．(人教A版教材改编题)要证明＋<2，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是(　　)．A．

4、综合法B．分析法[]C．特殊值法D．其他方法答案　B2．(2013·华师附中一模)用反证法证明命题：“三角形三内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)．A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析　“至少有一个不大于”的否定是“都大于”．答案　B3．设a，b∈R，若a－

5、b

6、＞0，则下列不等式中正确的是(　　)．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0解析　∵a－

7、b

8、＞0，∴

9、b

10、＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b

11、＋a＞0.答案　D4．(2012·江西)下列命题中，假命题为(　　)．A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数[]解析　空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z1＝1＋bi，z2＝3－bi(b∈R)，显然z1＋z2＝4∈R，但z1，z2不互为共轭复数，B为假命题；假设x，y都不大于1，则x＋y>2不成立，故与题设条件“x＋y>2”矛盾，假设

12、不成立，故C为真命题；C＋C＋…＋C＝2n为偶数，故D为真命题．排除A，C，D，应选B.答案　B5．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．解析　要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案　3考向一　分析法的应用【例1】►用分析法证明：若a>0，则－≥a＋－2.[审题视点]采用分析法，移项、平方、整理．证明　要证－≥a＋－2.只需证＋2≥a＋＋.∵a>0，∴两边均大于零，∴只需证2≥2，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋

13、2＋2＋2，只需证≥，只需证a2＋≥，即证a2＋≥2，显然成立，∴原不等式成立．分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．【训练1】已知a>0，－>1.求证：>.证明　要证>成立，只需证1＋a>，只需证(1＋a)(1－b)>1(1－b>0)，即1－b＋a－ab>1，∴a－b>ab，只需证：>1，即－>1.由已知a>0，－>1成立，∴>成立．考向二　综合法与分析法的综合应

14、用【例2】►设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.[审题视点](1)把题中所给的已知式等价变形为cn＝λcn－1＋μ形式，转化成特殊数列求解．(2)利用基本不等式证明．(1)解　由已知得＝＋·(n≥2)，当b≠1时，上