2013年高考数学 热点专题专练 11-28几何证明选讲 理

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1、高考专题训练(二十八)　几何证明选讲(选修4－1)时间：45分钟　分值：100分一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析　由∠B＝∠D，AE⊥BC，知△ABE∽△ADC，∴＝，∴AE＝·AC＝＝2，∴BE＝＝＝4.答案　42．(2011·湖南)如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直线BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．解析　

2、如图所示，∵A、E是半圆周上两个三等分点，∴△ABO和△AOE均为正三角形．∴AE＝BO＝BC＝2.∵AD⊥BC，∴AD＝＝，BD＝1.又∠BOA＝∠OAE＝60°，∴AE∥BD.∴△BDF∽△EAF，∴＝＝.∴AF＝2FD.∴AF＝.答案　3．如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝________.解析　连接AB，设BC＝AD＝x，结合图形可得△CAB与△CED相似，于是＝.即＝⇒x＝2.又因为AC是

3、小圆的直径，所以∠CBA＝90°，由于∠CDE＝∠CBA，所以∠CDE＝90°.在直角三角形CDE中，DE＝＝＝6.答案　64．如图，过圆外一点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.解析　由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即＝，∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75

4、°.答案　75°5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.分析　本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析　连接BD、DE，由题意可知DE⊥AB，DE＝a，BC＝DE＝a，∴BD＝＝a，∴EF＝BD＝.答案　二、解答题(每小题10分，共70分)6．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：EC平分∠DEF

5、.证明　(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△

6、ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明　(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴＝，∴AB2＝AF·AD.8．(2012·新课标)

7、如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△

8、BCD∽△GBD.9.已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.证明　(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC.∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°.∴C，D，F，E