2013年高考数学 热点专题专练 10-24函数与方程思想 理

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1、高考专题训练(二十四)　函数与方程思想时间：45分钟　分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是(　　)A．a<－1　　　　　　　　B．a>1C．－1

2、3解析　因为函数的值域为[－1,4]，所以对任意的y∈[－1,4]，必有x∈R，使y＝成立，所以关于x的方程y(x2＋1)＝ax＋b有实数根，即方程yx2－ax＋(y－b)＝0，若y＝0，则x＝－∈R.若y≠0，则Δ＝a2－4(y－b)y≥0，即4y2－4by－a2≤0，而－1≤y≤4.所以方程4y2－4by－a2＝0的两根为－1,4.由根与系数的关系，得b＝3，a2＝16，故a＝±4，b＝3.答案　C点评　求解本题关键是构造出关于x的一元二次方程后，借助判别式解决问题，它是方程思想的一个体现，用判别式解题，关键在于构造适当的一元二次方程，让研究的量处于方程系数的位置上．3．关于x的方程9

3、x＋(4＋a)3x＋4＝0有两个实数解，则实数a的取值范围是(　　)A．a>0B．a<－8C．a>0或a<－8D．a≥0或a≤－8解析　令t＝3x，问题等价于方程t2＋(4＋a)t＋4＝0在(0，＋∞)上有两个实根．令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4，则有解得a<－8，故选B.答案　B点评　解答本题要注意等价转化，把方程问题转化为函数零点问题解决，注意转化的等价性．4．设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析　根据函数与方程的关系，两函数的交点即转化为求函数f(x)＝x3－x－2的零点所在的

4、区间．由于f(1)＝1－2<0，f(2)＝8－1>0，所以x0∈(1,2)．答案　B点评　由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小，确定方程根的分布，证明根的存在，借助函数零点，结合函数图象加以解决．5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集不可能是(　　)A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}解析　令f(x)＝t，则方程有解，则t有解(至多有两解)．对于f(x)

5、＝t，若x存在，则关于x＝－对称(有两根或四根)．选项A、B、C均有可能，选项D由对称性可知不成立．答案　D6．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)的根的个数(　　)A．不可能有三个B．最少有一个，最多有四个C．最少有一个，最多有三个D．最少有二个，最多有四个解析　y＝kx＋k＋1过定点(－1,1)，结合y＝f(x)的图象(连续)，当k＝－1时，在x∈[－1,0]有无数个解，又k≠－1，故选B.答案　B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．对

6、于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________．解析　设f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋3，f(p)为关于p的一次函数，要使f(p)>0对p∈[0,4]恒成立，则解得x>3或x<－1.答案　x>3或x<－18．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析　因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，

7、所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在[0,2]上是增函数，所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4.不妨设x1