2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练8 平面向量线性运算及综合应用问题 理

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1、训练8　平面向量线性运算及综合应用问题(时间：45分钟　满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足

2、a＋b

3、＝

4、a－b

5、，则下面结论正确的是(　　)．A．a∥bB．a⊥bC．

6、a

7、＝

8、b

9、D．a＋b＝a－b2．已知向量a，b满足

10、a

11、＝

12、b

13、＝1，

14、a－b

15、＝1，则

16、a＋b

17、＝(　　)．A．1B.C.D．23．(2012·厦门质检)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)．A.B.C．－D．－4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·

18、n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)．A.B.C.D.5．已知

19、a

20、＝

21、b

22、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为(　　)．A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若

23、a

24、＝1，则

25、a

26、2＋

27、b

28、2＋

29、c

30、2的值是________．8．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．三、解答题(本题共

31、3小题，共35分)9．(11分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1，0)．(1)若x＝，求向量a，c的夹角；(2)当x∈，时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．10．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．11．(12分)(2012·青岛二中模拟)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinCcosC－cos2C＝，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，

32、sinB)共线，求a、b的值．参考答案训练8　平面向量线性运算及综合应用问题1．B　[两边平方求解．由

33、a＋b

34、＝

35、a－b

36、，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.]2．C　[如图，∵

37、a

38、＝

39、b

40、＝

41、a－b

42、＝1，∴△AOB为正三角形，∴

43、a－b

44、2＝a2＋b2－2a·b＝2－2a·b＝1，∴a·b＝，∴

45、a＋b

46、2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×＝3，∴

47、a＋b

48、＝.]3．A　[由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.]4．C　[依题意得，sinAcosB＋cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(

49、A＋B)，sinC＋cosC＝1，2sinC＋＝1，sinC＋＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝，选C.]5．B　[由(a＋2b)·(a－b)＝

50、a

51、2＋a·b－2

52、b

53、2＝－2，得a·b＝2，即

54、a

55、·

56、b

57、cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝.]6．解析　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c，∴×－3×k＝0，解得k＝1.答案　17．解析　由题意：c＝－(a＋b)，又因为(a－b)⊥c，a⊥b，可得⇒⇒

58、c

59、2＝(－a－b)2＝2，所以

60、a

61、2＋

62、b

63、2＋

64、c

65、2＝4.答案　48．解析　以A为坐标原点，AB

66、，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.答案　9．解　(1)当x＝时，cos〈a，c〉＝＝＝－cosx＝－cos＝cos.因为0≤〈a，c〉≤π，所以〈a，c〉＝.(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin2x－.因为x∈，，所以2x－∈，2π，故sin2x－∈－1，.所以，当2x－＝，即x＝时，[f(x)]max＝1.

67、10．解　(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则

68、b＋c

69、2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤

70、b＋c

71、2≤4，即0≤

72、b＋c

73、≤2.当cosβ＝－1时，有

74、b＋c

75、＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.(2)由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝，得cos－β＝cos，即β－＝2kπ±(