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《2012年高考数学最后冲刺 数形结合思想方法突破》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、方法八、数形结合思想方法突破中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地
2、阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与
3、图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与
4、数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。y4y=1-m1O23x例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。此题也可设曲线y＝－(x－2)＋1,x∈(0,3)和直线y＝m后画出图像求解。【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可
5、用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。yADOBxC例2.设
6、z
7、＝5，
8、z
9、＝2,
10、z－
11、＝，求的值。【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。由图可知，
12、
13、＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD＝＝∴＝(±ｉ)＝2±ｉ【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问
14、题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则
15、z－
16、＝
17、(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ
18、＝＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±，＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由
19、z－
20、＝得：（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。几种解
21、法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。例3.直线L的方程为：x＝－(p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物
22、线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。
