高考数学难点突破难点37数形结合思想[专题]

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1、难点37数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，和互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽彖思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考杳数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义乂揭示其儿何意义，将数量关系和空I'可形式巧妙结合，來寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征._•难点磁场1.曲线y=+yl4-x2(-2^a<2)与直线尸心-2)+4有两个交点时，

2、实数r的取值范围2.设/(x)=x2-2处+2,当xe[-1,+8)时，fM>a恒成立，求a的取值范围.•案例探究[例1]设A={xI-2WxWa},B={yIy=2x+3,且A),C={zIz=x21且兀wA),若CyB,求实数d的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目•属★★★★级题口.知识依托：解决木题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将Cub用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=/,xw[-2,幻的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图彖将是上策.不

3、能漏掉6/<-2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想來解决.解：・・・y=2x+3在[-2,刃上是增函数・•・-1W)W2q+3,即B={yI-]WyW2a+3}作岀沪异的图象，该函数定义域右端点qg有三种不同的位置情况如F：①当-2WdW0时，即C={zI要使CUB、必须且只须2x324得丄与-2Wd<()矛盾._2②当0WaW2时，0WzW4即C={z丨0WzW4},要使CjB,由图可知

4、:必须且只需『°+3»42时,OWzW/,即C={zIOWzW/},要使CgB必须且只需加+3解得2<泾3⑺>2②当。<・2时，A=0此时B=C=0,则CyB成立.综上所述，a的取值范围是(--,-2)U［丄,3］・2［例2］已知acos心+bsing=c,acos0+bsinB=c(ab工0,a-n,RWZ)求证:cos2a-(52a2+b2命题意图：本题主耍考查数学代数式儿何意义的转换能力.屈★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由4、B两点

5、坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈Z—.如何巧妙利川其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的儿何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的儿何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A(cosa,sina)与点B(cosQ,sin)是肯线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=l的两个交点如图.从而：IABI2=(cosa-cosi^)2+(sinQ-sinBf=2-2cos(a-0)又・・•单位I员啲I员1心到直线I的距离d=/I"由平面几何知识知I

6、OAI2-(-IABI尸二护即212-2cos(cr-0)__c~1―d—；4er+hcos2c2a2+b2••锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：(1)集合的运算及韦恩图(2)函数及其图象(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的血线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数虽关系；借助于运算结果与几何定理的结合.•歼灭难点训练一、选择题JI11.(★★★★)方程sin(x-—

7、)=—x的实数解的个数是()44A.2B.3C.4D.以上均不对2.(★★★★★)已知/(x)=(x-6f)(x-b)~2(其中a0},B={(x,y)I(x~l)2+(y-3)2=o2,a>0),RAQBH0,求a的最大值与

8、最小值.227.(★★★★)己知A(1,1)为椭圆—+^-=1内一点，戸为椭圆左焦点，P为椭圆95上一动点.求I昭I+IMI的最大值和最小值.8.(★★★★★)把一个长、宽、高分别为25cm>20cm>5cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？+(3sin()-l+2r)