（通用版）2018学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测（二十四）函数与导数 理

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1、课时跟踪检测（二十四）函数与导数1．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋b，g(x)＝alnx.(1)若f(x)在上的最大值为，求实数b的值；(2)若对任意的x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数．∵f＝＋b，f＝＋b，∴f＞f.∴f＝＋b＝，∴

2、b＝0.(2)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x，∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，由于不能同时取等号，∴lnx＜x，即x－lnx＞0，∴a≤(x∈[1，e])恒成立．令h(x)＝，x∈[1，e]，则h′(x)＝，当x∈[1，e]时，x－1≥0，x＋2－2lnx＝x＋2(1－lnx)＞0，从而h′(x)≥0，∴函数h(x)＝在[1，e]上为增函数，∴h(x)min＝h(1)＝－1，∴a≤－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1]．2．(2018届高三·合肥调研)已知函数f(x)＝ex－ax2(x＞0，

3、e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)当a＝2时，求证：f(x)＞1；(2)是否存在正整数a，使得f′(x)≥x2lnx对一切x∈(0，＋∞)恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x，令f1(x)＝f′(x)＝ex－2x，则f1′(x)＝ex－2，令f1′(x)＝0，得x＝ln2，又0＜x＜ln2时，f1′(x)＜0，x＞ln2时，f1′(x)＞0，∴f1(x)＝f′(x)在x＝ln2时取得极小值，也是最小值．∵f′(ln2

4、)＝2－2ln2＞0，∴f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．∴f(x)＞f(0)＝1.(2)由已知，得f′(x)＝ex－ax，由f′(x)≥x2lnx，得ex－ax≥x2lnx对一切x＞0恒成立，当x＝1时，可得a≤e，∴若存在，则正整数a的值只能取1,2.下面证明当a＝2时，不等式恒成立，设g(x)＝－－lnx，则g′(x)＝＋－＝，由(1)得ex＞x2＋1≥2x＞x，∴ex－x＞0(x＞0)，∴当0＜x＜2时，g′(x)＜0；当x＞2时，g′(x)＞0.∴g(x)在(0,2)上是减函数，在

5、(2，＋∞)上是增函数．∴g(x)≥g(2)＝(e2－4－4ln2)＞×(2.72－4－4ln2)＞(3－ln16)＞0，∴当a＝2时，不等式f′(x)≥x2lnx对一切x＞0恒成立，故a的最大值是2.3．(2017·安徽二校联考)已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：lnx1＋lnx2＞2.解：(1)f′(x)＝＝，由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0＜x＜ea＋1时，f′(x)＞0，当x＞ea＋1时，f

6、′(x)＜0，所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，所以ea＋1＝e，解得a＝0.所以f(x)＝－m(x＞0)，f′(x)＝，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(e)＝－m.又x→0(x＞0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，故解得0＜m＜.所以实数m的取值范围为.(2)证明：不妨设x1＜x2，由题意知则lnx1x2＝m(x1＋x2)，ln＝m(x2－x1)⇒m＝.欲证lnx1＋lnx2＞2，只需证lnx1x2＞2，只需证m(x1＋x2)＞2，即证ln＞2.

7、即证ln＞2，设t＝＞1，则只需证lnt＞.即证lnt－＞0.记u(t)＝lnt－(t＞1)，则u′(t)＝－＝＞0.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)＞u(1)＝0，所以原不等式成立，故lnx1＋lnx2＞2，得证．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，··…·0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0

8、，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0.故a＝1.(2)由(