（通用版）2018学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测（二十二）圆锥曲线 文

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1、课时跟踪检测（二十二）圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直

2、线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.所以－20＜·＋·≤－.当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.综上，·＋·的取值范围为.2．(2017·张掖模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(

3、＋)·＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．解：(1)设P，又F(c,0)，E(a,0)，则＝，＝，＝(c－a,0)，所以(2c－3a)(c－a)＝4.又e＝＝，所以a＝2，c＝1，b＝，从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，得(4k2＋3)x2

4、＋8kmx＋4m2－12＝0，则又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，则kAM＋kAN＝0，即＋＝0，则(x2－1)＋(x1－1)＝0，整理得(2k－1)(2m＋2k－3)＝0，得k＝.故直线MN的斜率为定值.3．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0

5、)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，由＝，得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.4.(2017·安徽二

6、校联考)已知焦点为F的抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，圆C2：x2＋y2＝1，直线l与抛物线相切于点P，与圆相切于点Q.(1)当直线l的方程为x－y－＝0时，求抛物线C1的方程；(2)记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．解：(1)设点P，由x2＝2py(p＞0)得，y＝，求得y′＝，因为直线PQ的斜率为1，所以＝1且x0－－＝0，解得p＝2.所以抛物线C1的方程为x2＝4y.(2)点P处的切线方程为y－＝(x－x0)，即2x0x－2py－x＝0，OQ的方程为y＝－x.根据切线与圆相切，得＝1，化

7、简得x＝4x＋4p2，由方程组解得Q.所以

8、PQ

9、＝

10、xP－xQ

11、＝＝·，又点F到切线PQ的距离d1＝＝，所以S1＝

12、PQ

13、d1＝···＝，S2＝

14、OF

15、

16、xQ

17、＝，而由x＝4x＋4p2知，4p2＝x－4x＞0，得

18、x0

19、＞2，所以＝·＝＝＝＝＋＋3≥2＋3，当且仅当＝时取等号，即x＝4＋2时取等号，此时p＝.所以的最小值为2＋3.