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时间:2018-12-24
《(通用版)2018学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测(十八)立体几何 文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪检测(十八)立体几何1.(2017·沈阳模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC的中点.(1)证明:A1O⊥平面ABC;(2)求三棱锥C1ABC的体积.解:(1)证明:因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,A1O⊂平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC.(2)∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1
2、到平面ABC的距离.由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O==,∴VC1ABC=VA1ABC=S△ABC·A1O=××2××=1.2.(2018届高三·西安八校联考)如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE;(2)求正四棱锥PABCD的高h,使得该四棱锥的体积是三棱锥PABF体积的4倍.解:(1)证明:在直三棱柱ADEBCF中,AB⊥平面ADE,∴AB⊥AD.又AD⊥AF,AB∩AF=A,∴AD⊥平面ABFE.又AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥
3、平面ABFE.(2)P到平面ABF的距离d=1.∴VPABF=S△ABFd=××2×2×1=.而VPABCD=S正方形ABCDh=×2×2×h=4VPABF=,∴h=2.3.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.解:(1)证明:由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.因为AB∥CD,所以AB⊥PD.又AP∩PD=P,所以AB⊥平面PAD.又AB
4、⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图所示,在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥PABCD的体积VPABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin60°=6+2.4.(2017·泰安模拟)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E为AD的中点,F为B1C
5、1的中点.(1)求证:A1F∥平面ECC1;(2)在CD上是否存在一点G,使BG⊥平面ECC1?若存在,请确定点G的位置,并证明你的结论,若不存在,请说明理由.解:(1)证明:如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,取BC的中点M,连接AM,FM,所以B1F∥BM且B1F=BM,所以四边形B1FMB是平行四边形,所以FM∥B1B且FM=B1B.因为B1B∥A1A且B1B=A1A,所以FM∥A1A且FM=A1A,所以四边形AA1FM是平行四边形,所以A1F∥AM.因为E为AD的中点,所以AE∥MC且AE=MC.所以四边形AMCE是平行四边形,
6、所以CE∥AM,所以CE∥A1F.因为A1F⊄平面ECC1,EC⊂平面ECC1,所以A1F∥平面ECC1.(2)在CD上存在一点G,使BG⊥平面ECC1.证明如下:取CD的中点G,连接BG.在正方形ABCD中,DE=GC,CD=BC,∠ADC=∠BCD,所以△CDE≌△BCG,所以∠ECD=∠GBC.因为∠CGB+∠GBC=90°,所以∠CGB+∠DCE=90°,所以BG⊥EC.因为CC1⊥平面ABCD,BG⊂平面ABCD,所以CC1⊥BG.又EC∩CC1=C,所以BG⊥平面ECC1.故当G为CD的中点时,满足BG⊥平面ECC1.5.(2017
7、·福州模拟)如图①,在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于点A,将△PAD沿AD折起,得到如图②所示的四棱锥PABCD,点M在棱PB上,且PM=MB.(1)求证:PD∥平面MAC;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求点A到平面PBC的距离.解:(1)证明:在四棱锥PABCD中,连接BD交AC于点N,连接MN,依题意知AB∥CD,∴△ABN∽△CDN,∴==2,∵PM=MB,∴==2,∴在△BPD中,MN∥PD,又PD⊄平面MAC,MN⊂平面MAC,∴PD∥平面MAC.(2)法一:∵平面PAD⊥平面A
8、BCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴VPABC=S△ABC·PA=××1=.∵AB=2,AC==,∴PB
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