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《（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 高考达标检测（五十三）不等式证明 文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考达标检测（五十三）不等式证明1．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴＋－1＝＝＝＝＝＝.∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∴≥0.∴＋≥1.2．已知定义在R上的函数f(x)＝
2、x＋1
3、＋
4、x－2
5、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为
6、x＋1
7、＋
8、x－2
9、≥
10、(x＋1)－(x－2)
11、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋
12、q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.3．(2018·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式
13、x＋1
14、－
15、2－x
16、≤a≤
17、x＋1
18、＋
19、2－x
20、都成立．(1)求a的值；(2)设m＞n＞0，求证：2m＋≥2n＋a.解：(1)设f(x)＝
21、x＋1
22、－
23、2－x
24、，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，
25、x＋1
26、－
27、2－x
28、≤a都成立，即f(x)≤a，∴a≥3.设h(x)＝
29、x＋1
30、＋
31、
32、2－x
33、，则h(x)＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，
34、x＋1
35、＋
36、2－x
37、≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)证明：由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3.∴2m＋≥2n＋a.4．已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1.(1)求＋＋的最小值；(2)求证：x2＋y2＋z2≥.解：(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当＝且＝且＝时取
38、等号．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．故x2＋y2＋z2≥.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝
39、x
40、＋
41、x－1
42、.(1)若f(x)≥
43、m－1
44、恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知f(x)＝
45、x
46、＋
47、x－1
48、≥
49、x－x＋1
50、＝1，∴f(x)min＝1，∴只需
51、
52、m－1
53、≤1，即－1≤m－1≤1，∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2.(2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2，∴ab≤1，∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．①又≤，∴≤，∴≤，当且仅当a＝b时取等号．②由①②得，≤，∴a＋b≥2ab.6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝
54、x－a
55、.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－
56、x－1
57、；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解：(1)当a＝2时，不等式为
58、x－2
59、＋
60、x－1
61、≥4.①当x≥2时，不等
62、式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当1＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤1时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：∵f(x)≤1，即
63、x－a
64、≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号．7．已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则
65、a－d
66、>
67、b－c
68、；(
69、2)若t··＝＋，求实数t的取值范围．解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2>(b－c)2，即
70、a－d
71、>
72、b－c
73、.(2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t··＝t(ac＋bd)．由于≥ac,≥bd，又已知t··＝＋，则t(ac＋bd)≥(ac＋bd)，故t≥，当且仅当a＝c，b＝d时取等号．所以实数t的取值范围为[，＋∞)．8．已知函数f(
74、x)＝
75、x－1
76、.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若
77、a
78、<1，
79、b
80、<1，a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝
81、2x－1
82、＋
83、x＋3
84、＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的
