高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质破题致胜复习检测 新人教a版必修1

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1、1.3函数的基本性质复习指导考点一：函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的解题指导：有关函数单调性考查的题目类型：①函数单调性的判断；②求函数的单调区间；③由函数的单调性确定参数的取值范围.1.函数的单调区间是

2、其定义域的子集.2.由函数单调性的定义可知，若函数f（x）在区间D上是增（减）函数，则当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)）.3.一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间有“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.4.两函数f（x）、g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）+g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x）的单调性与其正负有关，与f（x）是否为0有关，切不可盲目类比.定义法判断函数的单调性例题：1.判断函数的单调性.又因为.所以原函数为奇函数.所以原函数在x<0时，单调性与x>0时相同，也为增函数，且f(0)=0.所以在R上单

3、调递增.2.设函数f(x)=－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．解：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)=(x1－x2)(－a)(1)当a≥1时，∵＜1，又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=1∴0＜a＜1时，f(x)在［0，＋上不是单调函数注：①判断单调性常规思路为定义法；②变形过程中＜1利用了＞

4、

5、x1

6、≥x1;＞x2；③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．3.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a－2)使函数是区间[a,b]上的“四维方军”函数?若存在,求出a,b的值,否则,请说明理由.考点二：函数的最值前提设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f（x）≤M，存在x0∈I，使得f（x0）=M对于任意x∈I，都有f（x）≥M，存在x0∈I，使得f（x0）

7、=M结论M为最大值M为最小值解题指导：求函数最值的常用方法：1.配方法：是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．2.平方法：对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．3.换元法：是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．4.单调性法：先确定函数的单调性，再由函数的单调性求最值.5.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.6.不等式法:利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等

8、式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤()2≤(a，b为实数)．7.导数法：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法（仅供参考，不要求掌握）．……例题：若a为正实数,函数f(x)=－x2+2ax+1,其中x∈[0,2],求函数f(x)的最大值.解：f(x)对称轴x=a.①当0

9、,在[a,2]单调递减,所以f(x)max=f(a)=a2+1;②当a≥2时,f(x)在[0,2]单调递增,所以f(x)max=f(2)=4a－3.考点三：函数的奇偶性1．奇偶性的概念①是奇函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于原点对称；②是偶函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于轴对称。2．若奇函数在处有意义，则。3．若函数是偶函数，则。4．函数奇偶性的运算性质：①奇函数±奇函数是奇函数；②