高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词学业分层测评 新人教b版选修1-1

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1、1.1.2量词(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是(　　)A．奇函数的图象关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0【解析】　A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.【答案】　D2．下列命题为真命题的是(　　)A．∀x∈R，cosx<2B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0C．∀x>0,3x>3D．∃x∈Q，方程x－2＝0有解【解析】　A中，由于函数y＝cosx的最大值

2、是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔

3、＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；当x∈[0，π]时，sinx≥0，∴＝＝sinx，p3对；当x＝π，y＝时，sinx＝cosy成立，但x＋y≠，p4错．【答案】　A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4【解析】　对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②

4、为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】　C5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】　f(x)＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，∴∀x

5、∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．【答案】　C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.【导学号：25650010】【解析】　由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】　①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______________．【解析】　当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤

6、x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】　[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使

7、x

8、>x；②对于一切x<0，都有

9、x

10、>x；③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N*，都有an≠bn；④已知A＝{a

11、a＝2n}，B＝{b

12、b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．【解析】　命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有an

13、a＝2n}，B＝{b

14、b＝3n}，如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为

15、假命题．【答案】　①②③三、解答题9．判断下列全称命题或存在性命题的真假．(1)∀x∈R，x2＋1≥1；(2)有一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0；(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．【解】　(1)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在性命题“有一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0”是假命题．(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“

16、存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．10．若x∈[－2,2]，关于x的不