高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章整合学案 新人教b版选修2-1

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1、第二章圆锥曲线与方程本章整合知识网络专题探究专题一、轨迹问题【例1】已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．思路分析：先根据椭圆的定义列出关系式，再将其坐标化即可．解：∵

2、AC

3、＝13，

4、BC

5、＝15，

6、AB

7、＝14，又

8、AF

9、＋

10、AC

11、＝

12、BF

13、＋

14、BC

15、，∴

16、AF

17、－

18、BF

19、＝

20、BC

21、－

22、AC

23、＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支．又c＝7，a＝1，b2＝48，故点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．【例2】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：

24、(x－4)2＋y2＝2内切，试确定动圆圆心E的轨迹．思路分析：先利用两圆内切和外切表示圆心距，再利用双曲线定义求解．解：设动圆E的半径为r，则由已知

25、AE

26、＝r＋，

27、BE

28、＝r－，所以

29、AE

30、－

31、BE

32、＝2.又A(－4,0)，B(4,0)，所以

33、AB

34、＝8,2＜

35、AB

36、.根据双曲线的定义知，点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．【互动探究】若例2条件“与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切”改为“与圆B：(x－4)2＋y2＝4外切”则结论如何？解：设动圆E的半径为r，∴

37、EB

38、－

39、EA

40、＝2－＜

41、AB

42、＝8，∴点E的轨迹为双曲线的一支．【例3】过双曲线x2－y2＝

43、1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．思路分析：先找到P点和Q点坐标之间的关系，再利用Q点坐标满足双曲线方程，间接求得P点的轨迹．解：设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．因为点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x1＋2y－y1＝2.①又因为PQ垂直于直线x＋y＝2，所以＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②联立①②解得又点Q在双曲线x2－y2＝1上，所以x－y＝1，⑤将③④代入⑤，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.专题二、离心率问题【例4】椭圆＋＝1(

44、a＞b＞0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率等于(　　)A.B.C.－1D.－1解析：当x＝c时，由＋＝1，得y＝±.又交点在y＝2x上，∴交点坐标为.∴2c＝＝＝a－.∴2＝1－，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±.∵0＜e＜1，∴e＝－1.答案：D【例5】点P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和圆x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1和F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为__________．解析：由圆x2＋y2＝a2＋b2，得x2＋y2＝c2，∴圆过焦点F1和F2.∴∠F1P

45、F2＝90°.又2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.如图所示．于是

46、PF2

47、=c，

48、PF1

49、=c.由双曲线的定义，有c-c=2a，∴e=.答案：+1【例6】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，试求此双曲线离心率的取值范围．解：设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k，则k≥，即≥，∴e2＝1＋≥1＋()2＝4，∴e≥2，即此双曲线离心率的取值范围为[2，＋∞)．专题三、与圆锥曲线有关的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题，大都是些综合性问题，解法灵活，技巧

50、性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下：(1)平面几何法．平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数．【例7】已知F1，F2为椭圆x2＋＝1的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．思路分析：△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的，因此可构建以k为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值．解：由题意，知

51、F1F2

52、＝2.经分析，当直线AB的斜率不存在时，不满足题意．故设

53、直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆的方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，∴

54、xA－xB

55、＝.＝

56、F1F2

57、·

58、xA－xB

59、＝×2×2×＝2×≤2×＝.当＝，即k＝0时，△ABF2的面积最大，为.【例8】已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当

60、MA

61、＋

62、MF

63、取最小值时，点M的坐标为(　　)A．(0,0)B．(1，－2)C．(2，－2)D.解析：如图，过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为E.由抛物线的定义知

64、MF

65、＝

66、ME

67、.当点M在抛物线上移动时，

68、ME

69、＋

70、MA

71、的值在

72、变化，显然