高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数 3.2.1 对数(2)学案 苏教版必修1

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1、第2课时　对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么：指数的运算法则⇒对数的运算法则①am·an＝am＋n⇒loga(MN)＝logaM＋logaN；②＝am·a－n＝am－n⇒loga＝logaM－logaN；③(am)n＝amn⇒loga(Nn)＝n·logaN.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把

2、指数提到前．【做一做1－1】计算：(1)log26－log23＝________；(2)log53＋log5＝__________.答案：(1)1　(2)0【做一做1－2】若2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则的值是__________．解析：由等式得(x－2y)2＝xy，从而(x－y)(x－4y)＝0，因为x＞2y，所以x＝4y.答案：42．换底公式(1)logab＝，即有logca·logab＝logcb(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)；(2)logba＝，即有logab·logba＝1(a

3、＞0，a≠1，b＞0，b≠1)；(3)＝(a＞0，a≠1，b＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．【做一做2】已知lgN＝a，用a的代数式表示：(1)log100N＝__________；(2)＝__________.答案：(1)a　(2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握

4、对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：logn(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a＞0且a≠1，M＞0，N＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一有关对数式的混合运算

5、【例1】求下列各式的值：(1)log535＋－log5－log514；(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋lg22；(3).分析：利用对数运算性质和“lg2＋lg5＝1”解答．解：(1)log535＋－log5－log514＝log5＋＝log553－1＝2.(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg22＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋1＝3.(3)＝＝＝.反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运

6、算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg2＋lg5＝1”来解题．题型二有关对数式的恒等证明【例2】已知4a2＋9b2＝4ab(a＞0)，证明lg＝.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg＝lg，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a2＋9b2＝4ab，得2＝ab，因为a＞0，所以b＞0，两边取以10为底的对数，得lg2＝lg(ab)，即2lg＝lg(ab)，lg＝lg(ab)，

7、所以lg＝(lga＋lgb)．因此lg＝，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b＞0.题型三对数换底公式的应用【例3】已知log23＝a,3b＝7，则log1256＝__________(用a，b表示)．解析：方法一：∵log23＝a，∴2a＝3.又3b＝7，∴7＝(2a)b＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而.故log1256＝.方法二：∵log23＝a，∴log32＝.又3b＝7，∴log37＝b.从而log1

8、256＝＝＝＝＝.方法三：∵log23＝＝a，∴lg3＝alg2.又3b＝7，∴lg7＝blg3.∴lg7＝ablg2.从而log1256＝＝＝＝.答案：反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14