高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数1学案苏教版必修1

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1、3．2　对数函数3．2．1　对数第1课时　对数的概念1．理解对数的概念．2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．3．掌握常用对数与自然对数的定义．4．了解对数恒等式．1．对数的概念一般地，如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记为logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．指数式和对数式的关系：如图所示．对数式logaN可看作一个记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log

2、aN又可看作幂运算的逆运算．【做一做1－1】将对数式log232＝5化成指数式为__________．答案：25＝32【做一做1－2】方程3x＝4的解为__________．答案：x＝log342．对数的性质(1)0和负数没有对数；(2)1的对数是0，即loga1＝0；(3)底数的对数等于1，即logaa＝1；(4)＝N；(5)logaam＝m.【做一做2】log216＋logaa2＋logb1＝________.答案：63．常用的两种对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N简记为lg_

3、N，如log102记为lg2，log105记为lg5等．(2)在科学技术中，常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底数的对数称为自然对数．正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N，如loge2记为ln2，loge5记为ln5等．【做一做3】计算lg10＝________，lne＝________.答案：1　1对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？剖析：从对数的概念不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式logaN＝b都反映的是a，b，N三

4、数之间的关系．在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不惟一．若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不惟一．因此规定a＞0，a≠1.因为logaN＝bab＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.题型一指数式、对数式之间的互化【例1】(1)将下列指数式写成对数式：54＝625；3－2＝；－2＝16.(2)将下列对数式化成

5、指数式：＝－3；log101000＝3.分析：由对数的定义，将指数式与对数式互化，得ab＝Nb＝logaN.解：(1)∵54＝625，∴log5625＝4；∵3－2＝，∴log3＝－2；∵－2＝16，∴＝－2.(2)∵＝－3，∴－3＝8；∵log101000＝3，∴103＝1000.【例2】求下列各式的值：(1)log2(＋)；(2).分析：首先对真数进行化简，找出真数与底数的关系．解：(1)原式＝log2[＋]＝log2[(2＋)＋(2－)]＝log24＝log222＝2.(2)原式＝＝＝.反思：对于

6、双重根号的二次根式，我们可用两种方法进行化简．方法一：配方法，如＝＝＝＝＋1.方法二：换元法，如设＋＝x，则x2＝6＋4＋2＋6－4＝16.从而x＝4.题型二有关对数式的运算【例3】求下列各式的值：(1)log381；(2)lg0.001；(3)log432；(4)4log23.分析：将对数式转化为指数式，求解指数方程．解：(1)设log381＝x，则3x＝81，即3x＝34，x＝4，所以log381＝4.(2)设lg0.001＝x，则10x＝0.001，即10x＝10－3，所以x＝－3.所以lg0.0

7、01＝－3.(3)设log432＝x，则4x＝32,22x＝25，x＝，所以log432＝.(4)＝32＝9.题型三指数方程【例4】解下列方程：(1)＝；(2)2x＋2－x＝.分析：因ax与a－x互为倒数，所以本题可用换元法求解．解：(1)原方程可化为5ex－5e－x＝3ex＋3e－x，即ex＝4e－x，ex＝±2(负值舍去)，所以x＝ln2.(2)设2x＝t，则原方程可化为t＋＝，3t2－10t＋3＝0，解得t1＝3，t2＝，即2x＝3或2x＝，所以x＝log23或x＝log2.1若(8y－1)2＋

8、

9、x－16y

10、＝0，则logyx的值是__________．解析：由条件得y＝，x＝2，从而设logyx＝z，得z＝2，z＝－.答案：－2设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是__________．解析：因为＝，所以a＝.设log2a(2a＋1)＝x，则由(2a)x＝2a＋1，得x＝，解得x＝－1.答案：－13求下列各式的值：(1)log247；　　(2)lg；　　(3)log3(81)．解：(1)log247＝14；(2)lg＝