《复变函数级数》word版

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1、第四章复变函数级数（42）一、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列,若存在复数,对于任意的,总有数>0,使数列序数时总有,则称复数为数列的极限,或者说数列收敛于,记作：由于,,当式成立时,等价于收敛的充要条件是和都收敛。2．复数级数（定义）：设有复数项级数若其前项和构成的数列收敛,则称级数收敛,而数列的极限叫做级数的和.否则称级数发散。由于，所以；绝对收敛：若一个级数的模级数收敛,则称级数是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。3．设复变函数()区域G内都有定义,则定义复变函数项级数：，其中前项

2、和：。若对于G内某点,极限存在,则称复变函数项级数在点收敛,叫做级数的和.若级数在区域G内处处收敛,其和必是一个复函数:.则)称为级数的和函数。定义:如果对于任意给定的，存在一个与无关的自然数，使得对于区域内(或曲线L上)的一切均有:当时，(p为任意正整数)则称级数在内(或曲线L上)一致收敛。一致收敛级数的主要性质：1）连续性:若在区域B内连续，且在B内一致收敛于，则和函数在B内连续。2）逐项可积性:设级数在曲线l上一致收敛于，且各项均在l上连续，则沿l可逐项积分，且：。3）逐项可导－Weierstrass

3、定理:设各项在区域B内均解析，且在B内的任一闭子域上一致收敛于，则(i)和函数在B内解析。(ii)在B内级数可逐项求导至任意阶，且.4）M判别法(Weierstrass判别法):若在区域B内，而收敛，则由构成的级数在B内绝对且一致收敛。4．Abel第一定理：若级数在处收敛,则在以原点为中心以为半径的圆内绝对收敛,即在所有满足条件的处绝对收敛;若级数在处发散,则在上述圆外发散,即在所有满足条件的处发散；在处不定。Abel第一定理中所说的圆叫做幂级数的收敛圆,收敛圆半径叫做收敛半径。关于收敛半径有下面的定理。定

4、理(比值法):若，则收敛半径.定理(根值法):若，则收敛圆半径.5．Taylor定理：若复变函数在以为中心的某个圆内解析，对圆内任一点，可以展开为级数：(1)(2)(1)式称为解析函数在的Taylor展开式,而(1)式右边的级数称为在的Taylor级数.若为距离最近的的奇点,Taylor级数的收敛半径为。几种常用初等函数的Taylor展开式:以上级数收敛半径：无穷大以上级数收敛半径：16．函数在其解析点附近可展开成Taylor级数；在奇点附近可展开Laurent级数.如果函数)在以为圆心的圆环域上解析，即在

5、圆环内为解析函数。那么它能展开为Laurent级数。Laurent定理：若在以点为中心的环形域内单值解析，对环形域内任一点，可以展开为级数：,(1)其中，(2)s是环形域内逆时针绕点一周的围道。注：（1）式叫做Laurent展开式,式子右边的级数叫做Laurent级数.Laurent级数与Taylor级数不同的是它含有的负次幂。7．单值函数的孤立奇点:定义:若函数在点处不解析，则称是的奇点：孤立奇点:设是函数的奇点，但在的某个去心领域内解析，则称点为函数的孤立奇点。非孤立奇点:如果在的无论多么小邻域内,除外

6、都有不可导点。或者是函数的奇点，但不是孤立奇点，则就叫做的非孤立奇点。本性奇点：的孤立奇点a本性奇点的充分必要条件是不存在，即时，既不趋于，也不趋于一定的值。8．零点若在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。如但，则称为的阶零点。二、习题1．填空题（1）的敛散性为_________；的敛散性为__________．（2）解析函数在附近的Taylor级数=_____________．（3）复变函数在孤立奇点的去心领域Laurent展式为：=__________．（4）幂级数的收敛半径是________

7、___;级数的收敛半径是___________．（5）0是函数的__________;1是函数_______,（选填：本性极点、可去奇点）。2．已知级数和的收敛半径分别为和，试确定下列级数的收敛半径：(1)．(2)．(3)．(4)．3．求下列幂级数的收敛半径。(1)．(2)．4．把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径。(1)．(2)．5．试证级数在全复平面上一致收敛。6．求级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。7．求下列函数在处的泰勒展开式和收敛半径。（1）．（2）．（3）,．8．求下列

8、函数的泰勒级数。（1）求在内点处的泰勒级数。（2）求在内点处的泰勒级数。（3）求函数在内点处的泰勒级数。9．把下列各函数在指定得圆环域内展开成洛朗级数。（1），，．（2）．（3）．（4）,．（5），．10．如果为正向圆周，求积分的值，设为：(1)．(2)．11．求和函数：(1)求和函数．(2)求和函数．12．求出下列函数的奇点（包括无穷远点），确定他们是哪一类的奇点（对于极点，要指出他们的阶）。（1）．（2）．（