高中数学 3.3基本不等式（1）学案新人教版必修5

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1、§3.3基本不等式(1)学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习过程一、课前准备看书本97、98页填空复习1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当________时，等号成立.复习2：基本不等式：设，则，当且仅当____时，不等式取等号.二、新课导学※学习探究探究1：基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能

2、在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果，我们有当且仅当时，等号成立.探究2：你能给出它的证

3、明吗？特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作：问：由不等式的性质证明基本不等？用分析法证明：证明：要证(1)只要证(2)要证（2），只要证（3）要证（3），只要证（4）显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.探究3：理解基本不等式的几何意义在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、

4、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.※典型例题例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?.※动手试试练1.时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？练2.已知直角三角形的面积等于50，两条

5、直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升※学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.※知识拓展两个正数1．如果和为定值时，则当时，积有最大值.2.如果积为定值时，则当时，和有最小值.※当堂检测1.已知x0，若x＋的值最小，则x为（）.A．81B．9C．3D．162.若，且，则、、、中最大的一个是（）A．B．C．D．3.若实数a，b，满足，则的最小值是（）.A．18B．6C．D．4.已知x≠0，当x=_____时，x2＋的值最小，最小值是________.5.做一个体积为3

6、2，高为2的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.课后作业1．已知x0,若的值最小,则x为（）A．81B．9C．6D．32.设则下列各式中正确的是()....3．如果实数x,y满足x2＋y2=1,则(1－xy)(1＋xy)有()A．最小值和最大值1B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值4．若关于x的函数y＝x＋在(0，＋∞)的值恒大于4，则(　　)A．m>2B．m<－2或m>2C．－21）的最大值是（）A．－2B．

7、2C．－3D．36．下列各函数中，最小值为的是()A．B．，C．D．7.设0