高中数学 3.1 瞬时变化率——导数学案苏教版选修1

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1、瞬时变化率——导数●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣：在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数

2、．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．【知识一】曲线上一点处的切线【问题导思】　　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的；当点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越．当点Q时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的．【知识二】瞬时速度、瞬时加速度【问题导思】　　在高台跳水运动中，如果我们

3、知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．1．怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？2．当Δx趋于0时，函数f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均变化率即为函数f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？1．瞬时速度运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝．2．瞬时加速度运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，

4、即a(t)＝．【知识三】导数及导数的几何意义【问题导思】　　在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))．1.是函数f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率，有什么几何意义？2．Δx趋于0时，函数y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率即为函数y＝f(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？1．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝_____________________无限

5、趋近于_____________，则称f(x)在点x＝x0处，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而，因而也是自变量x的，该函数称为f(x)的导函数，记作．3．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是．【题型分类】【类型一】求瞬时速度与瞬时加速度例1、已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2s，Δt＝0.01s时，求；(2)求质点M在t＝2

6、s时的瞬时加速度．变式：如果一个质点从固定点A开始运动，在时间t的位移函数为S(t)＝t3(位移单位：m，时间单位：s)．求：(1)t＝4s时，物体的位移S(4)；(2)t＝2s到t＝4s时的平均速度；(3)当t＝2s时的瞬时速度．【类型二】求函数在某一点处的导数例2、求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．　变式：求函数y＝x－在x＝1处的导数．【类型三】导数几何意义的应用例3、　已知抛物线y＝2x2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．变式:已知直线y＝3x＋a和曲线y＝x3相切，求实数a的值．【课堂小结】1．曲线的切线斜率是

7、割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢．2．导数就是瞬时变化率，是平均变化率当Δx→0时的无限趋近值．3．函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．【课时作业】一、填空题1．已知函数f(x)，当自变量x由x0变化到x1时，函数值的增量与

8、相应的自变量的增量之比是函数________(填序号)．①在x0处的变化率；②在区间[x0，x1]上的平均变化率；③在x1处的变化率；④函数在x0处的导数．2．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1，1)及