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1、63三角函數求極值的歸類研究三角函數求極值的歸類研究門桂松求函數的最大值與最小值是高中數學中的重要內容，也是高考中的常見題型，本文對三角函數的求極值問題進行歸類研究，供同學們借鑒。一、化成的形式例1.在直角三角形中，兩銳角為A和B，求的最大值。解：.由,得,則當時,有最大值。例2.求函數在[0,]上的最大值和最小值。解：.由,得,得.則當x=0時,,當時,.［點評］這類題目解決的思路是把問題化歸為的形式，一般而言，，但若附加了x63三角函數求極值的歸類研究的取值範圍，最好的方法是通過圖像加以解決。例2中，令,畫出
2、在[-,]上的圖形（如圖1），圖1不難看出,即.應注意此題容易把兩個邊界的函數值和誤認為是最大值和最小值。二、形如的形式例3.求函數的最大值和最小值。解一：由已知得,即,所以.因,即解得,故.63三角函數求極值的歸類研究［點評］上述利用正（餘）弦函數的有界性，轉化為以函數y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法。雖然本題可以使用萬能公式，也可以利用圓的參數方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡單易行。有興趣的同學不妨試一試其他解法。解二：由已知得ycosx-sinx=2y-1,(ycosx-sinx)2=(2
3、y-1)2<(y2+(-1)2)(cos2x+sin2x)=y2+1(柯西不等式),即,解得,故.［點評］雖然此法也相當簡單，但若沒有常練習，有時很難聯想到也可用柯西不等式來解。三、形如的形式例4.求函數的最大值和最小值。解：,由,得,,,即.∴ymax=-1,ymin=-.［點評］此題是利用了分離分母的方法求解的。若用例3的解法同樣可求，有興趣的同學不妨試一下，並作解法對比。63三角函數求極值的歸類研究四、形如的形式例5.求的最小值。解：設，則。從圖2中可以看到在區間(0,1]上是減函數（也可以利用函數的單調性
4、定義來證明這一結論）。當時,.圖2［點評］若由,可得最小值是錯誤的.這是因為當等號成立時，，即是不可能的。若把此題改為就可以用不等式法求解了，同學們不妨琢磨一下。五、利用與之間的關係例6.求函數的最大值和最小值。63三角函數求極值的歸類研究解：設,則，且.由於,故當t=1時，.當時,.［點評］這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯繫。是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令換元後依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數的單調性等方法來求函數的最值。應該注意的是求三角函數的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，這裏不
5、再贅述，有興趣的同學不妨自己探討一下。參考網路資料
