《高数重点知识》word版

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1、第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1极限的重要性质1．不等式性质设，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．设，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A＞0，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞0．设，且存在自然数N，当n＞N时有x

2、n≥0，则A≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设，且A＞B，则存在δ＞0，使得当＜δ有f（x）＞g（x）．设，且存在δ＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）≥g（x），则A≥B．2．有界或局部有界性性质设，则数列｛xn｝有界，即存在M＞0，使得｜xn｜≤M（n=1，2，3，…）．设则函数f（x）在x=x0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设，则只要设存

3、在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即：1°设，则.（）又B≠0，则．2°设，当x→x0时局部有界，（即，使得时），则．设，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即$δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则．3°设，，则，又$δ＞0使得0＜｜x－x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则．4°设，x→x0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设只要设存在或是无穷

4、大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下是“0·∞”型未定式．1°设=0（0＜｜x－｜＜δ时f（x）＞0），，则2°设=A＞0，A≠1，=+∞，则3°设=+∞，，则用相消法求或型极限利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形，分别求的情形利用函数极限求数列极限§3无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系其中o（1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u是无穷小量（

5、u≠0）Þ是无穷大量．反之若u是无穷大量，则是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小，设定义设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称x→x0时b（x）是（x－x0）的k阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x→0时sinx~x，tanx~x，㏑（1+x）~x，ex－1~x；ax－1~xlna，arcsinx~x，arctanx~x；（1+x）a―1~ax，1―cosx

6、~．（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中1°若a~b，b~gÞa~g．2°a~bÛa=b+o（b）3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换§4连续性及其判断1．连续性概念（1）连续的定义：函数f（x）满足，则称f（x）在点x=x0处连续；f（x）满足（或，则称f（x）在x=x0处右（或左）连续．若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续．（2）单

7、双侧连续性f（x）在x=x0处连续Ûf（x）在x=x0处既左连续，又右连续．（3）间断点的分类：设f（x）在点x=x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f（x）的间断点．若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0+0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x0+0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点．若f（x）在点x=x0处的左、右极限f（x0－0）与f（x

8、0+0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点．2．函数连续性与间断点类型的判断：若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b）ÌD，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间[c，d]ÌD，则f（x）在[c，d]上连续．若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断．当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性．判断f（x）的间断点的类型，就是求极限．3．