高中数学 1.3 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教a版必修1

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1、1.3.2函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数.2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数.(5

2、)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中,正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.答案:A2.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么g(x)=ax3+bx2+cx是A.奇函数B.偶函数C.既奇且

3、偶函数D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数,知b=0,有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.答案:A3.若偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是A.f(cosα)>f(cosβ)B.f(sinα)>f(cosβ)C.f(sinα)>f(sinβ)D.f(cosα)>f(sinβ)解析:∵偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角,∴α+β>90°,α>90°-β.1>sinα>cosβ>0.∴f(sinα)>f(

4、cosβ).答案:B4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=___________,b=___________.解析:定义域应关于原点对称,故有a-1=-2a,得a=.又对于所给解析式,要使f(-x)=f(x)恒成立,应b=0.答案:05.给定函数:①y=(x≠0);②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+).在这五个函数中,奇函数是_________,偶函数是_________,非奇非偶函数是__________.答案:①⑤②③④●典例剖析【例1】已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(

5、x-2)在[0,2]上是单调减函数,则A.f(0)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(0)<f(2)C.f(-1)<f(2)<f(0)D.f(2)<f(-1)<f(0)剖析:由f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[-2,0]上单调递减.∵y=f(x)是偶函数,∴f(x)在[0,2]上单调递增.又f(-1)=f(1),故应选A.答案:A【例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=

6、x+1

7、-

8、x-1

9、;(2)f(x)=(x-1)·;(3)f(x)=;(4)f(x)=剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域x∈(-∞,+∞)

10、,对称于原点.∵f(-x)=

11、-x+1

12、-

13、-x-1

14、=

15、x-1

16、-

17、x+1

18、=-(

19、x+1

20、-

21、x-1

22、)=-f(x),∴f(x)=

23、x+1

24、-

25、x-1

26、是奇函数.(2)先确定函数的定义域.由≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)去掉绝对值符号,根据定义判断.由得故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+2>0.从而有f(x)==,这时有f(-x)==-=-f(x),故f(x)为奇函数.(4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x>0时,-x<0,∴f(-x)

27、=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).故函数f(x)为奇函数.评述:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】(2005年北京东城区模拟题)函数f(x)的定义域为D={x

28、x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求

29、x的取值范围.(1)解:令x1=x2=1,有f(1×

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