高中数学 第二章 函数 2.3 函数的应用（ⅰ）课堂探究 新人教b版必修1

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1、2.3函数的应用（Ⅰ）课堂探究探究一一次函数模型的应用1．一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．2．一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．【典型例题1】(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)A.2000套B．3000套C．4000套D．5000套(2)商店

2、出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠一个茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？(1)解析：因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．答案：D(2)解：由优惠办法(1)可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4

3、)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由优惠办法(2)可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，令y1－y2＝0，得x＝34.所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，即优惠办法(1)更省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)更省钱．探究二二次函数模型的应用二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、

4、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．【典型例题2】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大

5、利润？最大利润是多少？思路分析：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(

6、50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．点评此题中要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，解答时还要注意利用上一问的结论．探究三分段函数模型的应用1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3．分段函

7、数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【典型例题3】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？思路分析：利润＝销售收入－总的成本．由于本题中的销量只能为500件

8、，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型．解：(1)当0＜x≤5时，产品全部售出，当x＞5时，产品只能售出500件．所以f(x)＝即f(x)＝(2)当0＜x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max＝10.78125(万元)．当x＞5时，f(x)＜12－0.25×5＝10.75(万元)