高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念学业分层测评（含解析）新人教a版选修2-2

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1、1.5.3定积分的概念学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是()A．被积函数为y＝－xB．被积函数为y＝－C．被积函数为y＝－x＋CD．被积函数为y＝－x3【解析】被积函数为y＝－.【答案】B2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝()A．0B．16C．12D．8【解析】偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故选B.【答案】B3．设f(x)＝则f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx＋2x

2、dxD.2xdx＋x2dx【解析】被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】D4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是()【解析】定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．【答案】D5．定积分f(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(

3、x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．【答案】A二、填空题6．(2016·长春高二检测)定积分(－3)dx＝__________.【解析】由定积分的几何意义知，定积分(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定积分－1xdx＝__________.【解析】如图，xdx＝＋2＝.【答案】

4、8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.【答案】dx三、解答题9．(2016·济南高二检测)已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.【解】(1)3x3dx＝3x3dx＝3＝3＝12.(2)6x2dx＝6x2dx＝6＝6＝126.(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.10．利用定积分的几何意义，求1dx的值．【解】y＝(－1≤x≤

5、1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，所以dx＝S半圆＝π.[能力提升]1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是()A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y－)dy【解析】作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，选B.【答案】B2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可

6、用定积分表示为()A.dxB.xpdxC.pdxD.pdx【解析】S＝＋p＋p＋…＋＝p·，∴p·＝xpdx.【答案】B3．(2016·深圳高二检测)定积分2017dx＝________________.【解析】由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝2016，x＝2017与y＝2017，y＝0所围成矩形的面积，所以2017dx＝(2017－2016)×2017＝2017.【答案】20174．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．【解】由定积分的几何意义知x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，cosxdx＝0.由定积分的

7、性质得f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cosxdx＝π2－4