高三数学第一轮复习《第5课时 函数的单调性》学案

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1、第5课时函数的单调性【考点概述】①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题．【重点难点】：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值．【知识扫描】1.增函数和减函数一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是___________.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上

2、是___________.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间上具有_____________（区间称为____________）。3.最大（小）值（前面已复习过）4.判断函数单调性的方法（1）定义法：利用定义严格判断。（2）导数法①若在某个区间内可导，当时，为______函数；当时，为______函数。②若在某个区间内可导，当在该区间上递增时，则______0，当在该区间上递减时，则______0。（3）利用函数的运算性质：如若为增函数，则①为增函数；②为减函数（）；③为增函数（）；④为

3、增函数（）；⑤为减函数。（4）利用复合函数关系判断单调性法则是“___________”即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为_______，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为_______，（5）图像法（6）奇函数在两个对称区间上具有_____的单调性；偶函数在两个对称区间上具有_________的单调性；【热身练习】1.设函数是上的减函数，则的取值范围为.2．已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则的取值范围是。3．函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则=．4．已知：函数在上是增函数，则的取值范围是_____5．函数的单调递减区间是__

4、______________.【范例透析】【例1】已知函数，（1）当时，求最大值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。【例2】已知函数，（1）用函数单调性的定义证明上是单调递增函数；（2）若的定义域、值域都是，求实数a的值.【例3】已知函数和的图像关于原点对称，且。（1）求函数的解析式；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。﹡【例4】函数对任意的a,b∈R，都有，并且当x>0时，>1.(1).求证：是R上的增函数。（2）.若，解不等式【方法规律总结】1.高考中主要考察求函数的单调区间及单调性的应用（如：利用函数单调性求值域、比较大小、解不等式等），多以小题的形式出

5、现。但近几年常以导数为工具研究函数单调性问题在大题中是必考内容。2.用定义证明（判断）函数在某一区间上的单调性，其步骤是：（1）设是该区间上的任意两个值，且；（2）作差，然后变形；(注意变形结果)（3）判定的符号（4）根据定义作出结论。注意：1。单调性定义中的要有任意性，不能由两个特殊值的大小决定单调性。2.不同的单调区间不能用并集表示【巩固练习】1．如果函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是___________________.2．已知函数在区间上是减函数,则与的大小关系是．3．在R上为减函数，则.4．若函数是区间上的单

6、调函数，则实数的取值范围是.5．求函数的单调区间。﹡6.如果函数的定义域为，且增函数，，(1).求证：；（2）.已知，且，求a的取值范围。第5课时函数的单调性参考答案【热身练习】1.2.3.254.5.[-1,1]4.解析：对称轴方程为，在上是增函数，所以，解得。5.解析：由得，函数定义域为。令，则它的单调递减区间为，而为增函数，所以所求单调递减区间是。【范例透析】例1．解:（1）。（2）由题意知函数的对称轴必须在区间的右侧或左侧右函数的对称轴为.，即.例2．解：（1）设，，上是单调递增函数。（2）∵的定义域、值都是上是单调增函数，∴。例3．解：（1）设为图像上任一点，则关于

7、原点的对称点在的图像上，且即点在函数图像上，，即故。（2）①当时，在上是增函数，满足要求；②当时，对称轴的方程为（i）当时，解得；（ii）当时，，解得综上，【巩固练习】1．答案：a≤－3解析：对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3.2．答案：　解析：　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，在上是减函数，．3．答案：4．答案：或解析：对称轴，或，解得或。