高三数学第一轮复习《第5课时 函数的单调性》学案

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1、第5课时函数的单调性【考点概述】①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题.【重点难点】:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调性求最值.【知识扫描】1.增函数和减函数一般地,设函数的定义域为:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是___________.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上

2、是___________.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间上具有_____________(区间称为____________)。3.最大(小)值(前面已复习过)4.判断函数单调性的方法(1)定义法:利用定义严格判断。(2)导数法①若在某个区间内可导,当时,为______函数;当时,为______函数。②若在某个区间内可导,当在该区间上递增时,则______0,当在该区间上递减时,则______0。(3)利用函数的运算性质:如若为增函数,则①为增函数;②为减函数();③为增函数();④为

3、增函数();⑤为减函数。(4)利用复合函数关系判断单调性法则是“___________”即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为_______,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为_______,(5)图像法(6)奇函数在两个对称区间上具有_____的单调性;偶函数在两个对称区间上具有_________的单调性;【热身练习】1.设函数是上的减函数,则的取值范围为.2.已知函数在定义域R上是单调减函数,且,则的取值范围是。3.函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则=.4.已知:函数在上是增函数,则的取值范围是_____5.函数的单调递减区间是__

4、______________.【范例透析】【例1】已知函数,(1)当时,求最大值;(2)求实数的取值范围,使在区间上是单调函数。【例2】已知函数,(1)用函数单调性的定义证明上是单调递增函数;(2)若的定义域、值域都是,求实数a的值.【例3】已知函数和的图像关于原点对称,且。(1)求函数的解析式;(2)若在上是增函数,求实数的取值范围。﹡【例4】函数对任意的a,b∈R,都有,并且当x>0时,>1.(1).求证:是R上的增函数。(2).若,解不等式【方法规律总结】1.高考中主要考察求函数的单调区间及单调性的应用(如:利用函数单调性求值域、比较大小、解不等式等),多以小题的形式出

5、现。但近几年常以导数为工具研究函数单调性问题在大题中是必考内容。2.用定义证明(判断)函数在某一区间上的单调性,其步骤是:(1)设是该区间上的任意两个值,且;(2)作差,然后变形;(注意变形结果)(3)判定的符号(4)根据定义作出结论。注意:1。单调性定义中的要有任意性,不能由两个特殊值的大小决定单调性。2.不同的单调区间不能用并集表示【巩固练习】1.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是___________________.2.已知函数在区间上是减函数,则与的大小关系是.3.在R上为减函数,则.4.若函数是区间上的单

6、调函数,则实数的取值范围是.5.求函数的单调区间。﹡6.如果函数的定义域为,且增函数,,(1).求证:;(2).已知,且,求a的取值范围。第5课时函数的单调性参考答案【热身练习】1.2.3.254.5.[-1,1]4.解析:对称轴方程为,在上是增函数,所以,解得。5.解析:由得,函数定义域为。令,则它的单调递减区间为,而为增函数,所以所求单调递减区间是。【范例透析】例1.解:(1)。(2)由题意知函数的对称轴必须在区间的右侧或左侧右函数的对称轴为.,即.例2.解:(1)设,,上是单调递增函数。(2)∵的定义域、值都是上是单调增函数,∴。例3.解:(1)设为图像上任一点,则关于

7、原点的对称点在的图像上,且即点在函数图像上,,即故。(2)①当时,在上是增函数,满足要求;②当时,对称轴的方程为(i)当时,解得;(ii)当时,,解得综上,【巩固练习】1.答案:a≤-3解析:对称轴x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3.2.答案: 解析: ∵a2-a+1=(a-)2+≥,在上是减函数,.3.答案:4.答案:或解析:对称轴,或,解得或。

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