高三数学大一轮复习讲义 2.1函数及其表示 理 新人教a版

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1、§2.1　函数及其表示2014高考会这样考　1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．复习备考要这样做　1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A

2、.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法．2．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用

4、方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为.(6)函数f(x)＝xa的定义域为{x

5、x∈R且x≠0}．[难点正本　疑点清源]1．函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．2．函数与映射(1)函数是特

6、殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．函数的定义域(1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑；(2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得a

7、实数a＝________.答案　－1解析　∵f(x)＝，∴f(a)＝＝2，∴a＝－1.2．(课本改编题)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中正确命题的序号有________．答案　①②解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数．对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数．3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么

8、，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]4．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝答案　D解析　函数y＝的定义域为{x

9、x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x

10、x≠0}，故选D.5．(2012·福

11、建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)A．1B．0C．－1D．π答案　B解析　根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.题型一　函数与映射例1　有以下判断：(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝

12、x－1

13、－

14、x

15、，则f＝0.其中正确判断的序号是________．思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．答案　(

16、2)(3)解析　对于(1)，由于函数f(x)＝的定义域为{x

17、x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)