高三数学 2.1 函数及其表示学案 新人教a版

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1、2.1　函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和

2、列表法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法类型x满足的条件，n∈N*f(x)≥0与[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)(a>0，a≠1)f(x)>0logf(x)g(x)f(x)>0，f(x)≠1，g(x)>0tanf(x)f(x)≠kπ＋，k∈Zf(g(x))(f(x)定义域为[

3、a，b])a≤g(x)≤b的解集四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　×　)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)(3)若函数f(x)的定义域为{x

4、1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x

5、1≤x<5}．(　×　)(4)f(x)＝则f(－x)＝(　√　)(5)

6、函数是特殊的映射．(　√　)(6)函数f(x)＝＋1的值域是{y

7、y≥1}．(　×　)1．(2014·江西)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案　C解析　要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x>0，解得x>1或x<0.所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)A．f(x)＝

8、x

9、B．f(x)＝x－

10、x

11、C

12、．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x答案　C解析　将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．对于A，f(2x)＝

13、2x

14、＝2

15、x

16、＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－

17、2x

18、＝2(x－

19、x

20、)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.3．已知函数f(x)＝则满足方程f(a)＝1的所有a的值组成的集合为________．答案　{3,0}解析　当a>0时，由log3a＝1，解得a＝3>0，符合题意，

21、当a≤0时，由()a＝1，解得a＝0，符合题意，综上所述，a＝0或a＝3.4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中真命题的序号有________．答案　①②解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一　函数的概念例1　有以下判断：①f(x)＝与

22、g(x)＝表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝

23、x－1

24、－

25、x

26、，则f＝0.其中正确判断的序号是________．答案　②③解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x

27、x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y

28、＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.思维升华　函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中