2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标15 导数与函数的极值 理

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1、课时达标 第15讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题.高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合,作为中档题或压轴题出现.三种题型均有出现,以解答题为主,难度较大.一、选择题1.若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为( D )A.B.C.∪D.∪解析 若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f′(x)=3x2-4cx+1=0有根,故Δ=(-4c)2-12>0,从而c>或c<-.2.函数f(x)=x2-lnx的最小值为( A )A.   B

2、.1C.0   D.不存在解析 f′(x)=x-=,且x>0,令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0

3、函数在(-2,2)上是减函数,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函数,由此可知当x=-2时函数f(x)取得极大值f(-2)=18,故选D.4.函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是( D )A.B.C.(-∞,0)D.解析 当x∈[-2,0)时,因为f′(x)=6x2+6x=6x(x+1),所以在[-2,-1)上f′(x)>0,在(-1,0]上,f′(x)≤0,则当x∈[-2,0]时函数有最大值,为f(-1)=2.当a≤0时,若x>0,显然eax≤1,此时函数在[-2,2]上的最大值为2,符合题意;当a>0时,若

4、函数在[-2,2]上的最大值为2,则e2a≤2,得a≤ln2,综上可知a的取值范围是,故选D.5.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( A )A.-37   B.-29C.-5   D.-11解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f′(x)=0得x=0或x=2.∵f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,最小值为f(-2)=-37,故选A.6.(2018·河北三市联考二)若函数f(x)=x

5、3-x2+2bx在区间[-3,1]上不是单调函数,则函数f(x)在R上的极小值为( A )A.2b-   B.b-C.0   D.b2-b3解析 f′(x)=x2-(2+b)x+2b=(x-b)(x-2).∵函数f(x)在区间[-3,1]上不是单调函数,∴-30,得x2.由f′(x)<0,得b

6、f′(x)=0,则x=2和x=-2为其两个极值点,f(3)=-1,f(-3)=17,f(2)=-8,f(-2)=24,∴M=24,m=-8,M-m=32.8.(2018·东北八校月考)已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为__4__.解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3b,∴⇒∴f′(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.9.已知函数f(x)的定义域是

7、[-1,5],部分对应值如下表.x-10245f(x)12021f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为__0__.解析 由y=f′(x)的图象知,f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表.x(-1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f′(x)+0-0+0-f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)的极小值为f(2)=0.三、解答题10.(2017·北京卷)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值

8、和最小值.解析 (1)因为f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))

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