高三数学大一轮复习 等比数列及其前n项和学案 理 新人教a版

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1、等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.3．等比中项：如果在a与b

2、中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)单调性：或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数

3、列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝＝－.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是(　　)A．3B．1C．0D．－13．(2011·温州月考)

4、设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于(　　)A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋2－1)D.(8n＋3－1)4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于(　　)A．8·nB．8·nC．8·n－1D．8·n－15．设{an}是公比为q的等比数列，

5、q

6、>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一　等比数列的基本量运算例1　已知正项等比数列{an}中

7、，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二　等比数列的判定例2　(2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)

8、求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三　等比数列性质的应用例3　(2011·湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.变式迁移3　(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例　(12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值

9、最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得[4分]将①整体代入②得80(1＋qn)＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝·qn＝81·＝54.∴＝.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1(n∈N*)．[12分]【突破思维障碍

10、】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论