高三数学大一轮复习讲义 6.3等比数列及其前n项和 理 新人教a版

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1、§6.3　等比数列及其前n项和2014高考会这样考　1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题．复习备考要这样做　1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通

2、项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6．等比数列前n项和的性

3、质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.[难点正本　疑点清源]1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论

4、，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．1．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.答案　2n解析　先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a＝a10>0，根据已知条件得2＝5，解得q＝2.所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.2．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.答案　解析　由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，得

5、a＋a＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×5＝51.又an>0，所以a4＋a8＝.3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.答案　2解析　令a＝1，b＝3，c＝9，则由题意，有x＝2，y＝6.此时＋＝＋＝2.4．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.答案　2解析　由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组⇒q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2.

6、5．(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　)A．7B．5C．－5D．－7答案　D解析　方法一　由题意得∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二　由解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.题型一　等比数列的基本量的计算例1　等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.思维启迪：(1)由S1，S3，S2成等差数列，列方程求出q.(2)由a1－a3＝3求出a1，再由通项和公式求出S

7、n.解　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3.故a1＝4.从而Sn＝＝.探究提高　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解　(1)∵a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝

8、11，故a1，a6可看作方程x2－11x＋＝0的两根，又q∈(0,1)，∴a1＝，a6＝，∴q5＝＝，∴q＝，∴an＝·n－1＝·n－6.(2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6.题型二　等比数列的性质及应