《澈力木格论》word版

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1、泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，也是数学中的一类基本问题，本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述。文章首先是介绍泰勒公式的定义，然后是泰勒公式应用的阐述，体现在求行列式的值、函数极限，计算近似值，求不等式的证明,求初等函数的幂级数展开式。关键词：泰勒公式行列式极限级数近似值不等式泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分中将函数展开成无穷级数而定义出来，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶导数，由这些导数构成

2、一个次多项式+……+，称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直到阶导数，则有，即+称为泰勒公式。众所周知泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值，判断行列式的值、函数的极限，计算近似值，求不等式的证明等方面。一、利用泰勒展式求函数的幂级数展开式如果函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为…………(1)的级数为函数在的泰勒公式。第11页（共11页）如果能在的某领域上等于其函数级数的和函数，则

3、称函数在的这领域内可以展开成泰勒公式，并称等式=…………的右边为在处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。在实际应用上，主要讨论函数在处的展开式，这时(1)式可以写作称为麦克劳林级数。例1展开成幂级数解：利用第11页（共11页）两边积分[-1,1][-1,1]第11页（共11页）二、利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，课本上介绍了多种方法，如拉格朗日中值定理、函数的凸性以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式一个重要办法。例2设在有三阶导数，且，，，证明在内至少存在一点，使得分析

4、；能将函数及其一阶导、二阶导数、三阶导数联系在一起的唯有泰勒公式，要判断，自然考虑对在点展开泰勒公式。，（），其中在与之间证明：考虑到区间，分别取为区间的断点，当时，取，由泰勒公式得，，两式相减并化简得因此，至少有一个的函数值不小于12，即例3证明不等式＞﹙＞0，＞0﹚证明∶令﹙＞0﹚则第11页（共11页）在﹙﹚或﹙﹚＞0，＞0是凹的，于是＞即＞即＞例4设在上的二阶导数连续并且当时，求证：，证明：因为⑶其中在与之间取，则泰勒公式为⑷其中0<<，因为式（4）减去（3）得又所以而故第11页（共11页）三、利用泰勒公式求极限

5、一般是把所求极限式经过变换后，其部分项用泰勒公式替换并注意到＝0其次在解题过程中可能用到下面几个情形（k为常数）simCOSln例5求极限解∶由泰勒公式知则＝第11页（共11页）例6求极限解∶＝1—++0＝1—++0＝1+++0＝1－++0由此可得＝+0＝＝＝＝+＝＋0＝注：带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具，运用得当会使求函数的极限变得十分简单。第11页（共11页）四、利用泰勒公式计算近似值当要求的算式不能得出它的准确值时，既只能求出其近似值，这时泰勒公式是解决这种问题的好方法。例7）求中的近

6、似值，精确到解∶因为中的被积函数是不可积的；现用泰勒公式的方法求的近似值在的展开式中以代得＝1－＋+………逐项积分得＝……＝1－+－…+…＝1－+上式右端而一个收敛的交错级数,由其系项的估计式知≈1－+≈第11页（共11页）五、利用泰勒公式求行列式的值利用泰勒公式计算行列式的主要思路，根据所求行列式的特点构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。例8解∶记＝按泰勒公式在处展开﹙1﹚＝﹙2﹚由﹙2﹚得，＝，＝1，2，…n时都成立﹙3﹚根据行列式的求导的规则，有＝第1

7、1页（共11页）于是在＝处的各阶导数﹙注意到公式3﹚为＝︳＝＝＝︳＝＝…………………………………＝︳＝…=…＝…把以上各导数代入﹙1﹚式中，有若有若有本文主要对泰勒公式在求极限、不等式的证明、求初等函数的幂级数展开式、计算行列式和近似值等方便做了简单系统的介绍和分析。假如通过这几个方面的研究，使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使一些问题得到更好的解答。在平时解题能够做到举一反三的话，那么对以后遇到的各种题型的解决大有裨益，从而体现泰勒公式在数学分析中有很重要的地位。特别是用泰勒公式求解行列式这一方法在数学分析

8、中没有介绍过，从而使行列式的求解又多了一种新方法，也是用数学分析手段研究高等代数问题中作了一个初步探索，以便为高等数学的教学起到促进作用。第11页（共11页）Abstract:theTaylorformulainmathematicalanalysisisimportantcomponent,isalsoatypeofmathem