澈力木格论文

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1、泰勒公式的应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，也是数学中的一类基本问题，本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述。文章首先是介绍泰勒公式的定义，然后是泰勒公式应用的阐述，休现在求行列式的值、函数极限,计算近似值，求不等式的证明，求初等函数的幕级数展开式。关键词：泰勒公式行列式极限级数近似值不等式泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物Z—的英国数学家泰勒，在微积分屮将函数展开成无穷级数而定义出來，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数/,设它在点兀。存在直到"阶导数

2、，由这些导数构成一个八次多项式人(沪/%)+器6-*。)+警……+芒評H，衲函数/在点心处的泰勒多项式，若函数/在点兀0存在直到”阶导数，则有/■(x)=7；(x)+O((x-Xo)")‘即/(X)=/(X。)+广(X。X"-X。)+f缪(X-X。)2+...+f$)(x-x0)+0((x-xoy)称为泰勒公式。众所周知泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法己经成为研究函数极限等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值，判断行列式的值、函数的

3、极限,计算近似值，求不等式的证明等方面。利用泰勒展式求函数的幕级数展开式如果函数/(X)在x=x()处存在任意阶的导数，这时称形式为/（兀0）+/'（xoXx—Xo）+f（兀一兀0尸++/YJ（无_兀。）"+（1）2!n的级数为函数/（兀）在心的泰勒公式。如杲于（兀）能在兀。的某领域上等于其函数级数的和函数，则称函数/（x）在X。的这领域内可以展开成泰勒公式，并称等式/（兀）=/（兀0）+广（兀0灭兀_兀0）+/］：°）（兀_兀0）2++~~（X-xo）n+2!n的右边为在处的泰勒展开式，或称幕级数展开式。

4、在实际应用上，主耍讨论函数在心=0处的展开式，这时（1）式可以写作称为麦克劳林级数。例1f(x)=(1+x)a(ag/?)展开成幕级数解.f0，)(X)=6Z(6/-1)……(6/-72+1)(1+旷/ITT•f(n)(0)=a(a-l)(d—z?+l),(n=0,1,2,3)q(q—1)2a(a-l)……(a-n+1)n1+QX+X++X+:.R=l^t(JI)内，若a”+1an2!/?!•••lim冷)=1+心……+心7……g+u+n如“+疋-1)兀+……+讹T)……g+D+(n-1)!xsfM=ax+

5、a(a-l)x2+……+心1)……(。十1)疋+(〃一1)!(m-1)(m-n-1)(nt-1)(m-n)m(m-1)(jn-n+1)n利用(/i-l)!+n•••(1+x)s'(x)兀++/(-1)……@7+1)严+2!n!as(x)竺=厶，且思(0)=1s(x)1+X两边积分f普泸=I总G(T」)得Ins(x)-In5(0)=aln(l+x)即Ins(x)=ln(l+x)a:.5(x)=(1+x)a、xe(-1J)(1+x)a牛顿二项式展开式1+姒+^^/++讹一1)……(07+1"+兀*1,1)2!川

6、注意：在兀=±1处收敛性与a的収值有关-l

7、2在（0,1）内至少存在一点歹，使得厂②王12分析；能将函数及其一阶导、二阶导数、三阶导数联系在一起的唯有泰勒公式，要判断厂（012,自然考虑对Vxe［0,1］在77点展开泰勒公式。（Vxe［0,1］）,其41『在7J与X之间证明：考虑到区间［0,1］,分别取X为区间的断点，当兀=［0,1］时，取歹=丄，由泰勒公式得+广rrfl-11I2丿/（!）=/”1if、32丿+广r+—12fo-r2+-叫2)3，爲GjJI2丿2!I2丿3!I2>7zJ2丿++2!3!1--2丿/（0）=/两式相减并化简得厂点）+严（

8、打=24因此，至少有一个的函数值不小于12,即xlnx+yiny>("An宁x>0,y>0y)证明:令/(r)=rln(z)('>0)则广（/）=lnf+l厂心〉0・••□）"Inf在（）或（）x>0,y>0是凹的，于是即i[xlnx+ylny]>^ln^±2即xlnx+7ln7>（%+>,）ln£±2例4设广（兀）在［0,1］上的二阶导数连续/（0）=/（I）=0并且当xe（0,l）