备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题47 待定系数法——求曲线的方程

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1、专题47待定系数法----求曲线的方程【热点聚焦与扩展】待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式

2、；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.待定系数法中方程的形式：①直线：，②圆：；.③椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．④双曲线：(1)标准方程：（或，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：(2)相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：⑤抛物线：标准方程

3、：等抛物线方程通式：，【经典例题】例1.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】D例2.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A.若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（）A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝±4xD．y2＝±8x【答案】【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，，故选.x/k//w例3.中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且与直线相切的椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为椭圆的离心率，所以，所以，，则可设椭

4、圆的方程为，与联立，并化简得，因为直线与椭圆相切，所以，即，解得，则，所以椭圆的方程为例4.【2018届华大新高考联盟高三1月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线的一个顶点，则此抛物线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A例5.【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：，本题选择D选项.例6.【2018届天津市部分区高三上学期期末】以点为圆心的圆

5、与直线相切于点，则该圆的方程为__________．【答案】答案：例7.求经过点两点的椭圆标准方程.【答案】【解析】设椭圆方程为，∵点在椭圆上，∴，解得故为所求椭圆标准方程．例8.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．（1）若的周长为16，求直线的方程；（2）若，求椭圆的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）的周长为可得的值，由离心率为得的值，得坐标，代入直线的点斜式方程可得直线的方程；（2）由离心率及关系化简椭圆方程，联立椭圆及直线方程，整理关于的一元二次方程，由根与系数的关系得的

6、值，代入弦长公式，建立等式，可得的值，从而得椭圆的方程．则且∴，解得，从而得所求椭圆C的方程为．例9.椭圆的右焦点为，右顶点，上顶点分别为，且（1）求椭圆的离心率x/k**w（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程及椭圆的方程【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆方程可得：联立方程：，消去可得：，即：，解得：经检验：当，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件椭圆方程为例10.已知点是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的两个端点，且是正三角形（1）求椭圆的离心率（2）直线与以为直径的圆相切，并且被椭圆截得的弦长的最大值为，求

7、椭圆的标准方程【答案】（1）；（2）.（2）由（1）可得椭圆的方程为：，设与椭圆的交点为若斜率不存在，可得弦长若斜率存在，设，联立方程：，整理可得：椭圆方程为：【精选精练】1.【2018届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线过点且圆相切，则直线的的方程为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】当直线的斜率存在时，设直线的方程为，而圆心为，半径为，所以，解得；当直线的斜率不存在，即直线为时，直线与圆相切，所以直线的方程为或，故选：C．2.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：圆

8、的标准方程为，所以当时圆的面积最小，此时圆的圆心为，半径为1，又因为直线与圆相切，所以.x.k..w3.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A.4B.C.5D.【答案】B4.如图所示，已知椭圆方