2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程

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1、专题51曲线与方程----求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方

2、程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若，则点在以为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标，半径②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点

3、距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和，定点距离③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数

4、后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【答案】B例2.设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（　　）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线【答案】D【解析】圆的标准方程为，如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有

5、：，则，设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.本题选择D选项.例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（）．A.B.C.D.【答案】B例4.已知直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点，若于，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】思路：先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即，设，即，联立直线与抛物线方程并利联立方程：，消去可得：，由可得，即直线过定点即的轨迹为以为直径的圆则该圆的圆心为，半径轨迹方程为答案：B例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为

6、，则点的轨迹方程是___．【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是C，F为焦点，以4为实轴长的双曲线，，，所以点Q的轨迹方程是.例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点，过点，分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.【答案】，故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为，故答案为.例7.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂

7、直于OQ的直线l过C的左焦点F.【答案】(1).(2)证明略.【解析】（2）由题意知.设,则，.由得，又由（1）知，故.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例8.已知抛物线：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（I）详见解析；（II）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（I）由于在线段上，故

8、.记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，