高中数学 1.4生活中的优化问题举例学案新人教版选修2-2

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1、课题1.4 生活中的优化问题举例班级:__________姓名:__________小组号:_________一【学习目标】1.了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.2.掌握由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式.(重点、难点)3.运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题.(重点二【课前学习】1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用________,可以解决一些生活中的____________.2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的

2、几个变量转化成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值.3.解决优化问题的基本思路是:  →             ←上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程.三【例题与变式】例1面积、容积最大问题学校举行活动,要张贴海报进行宣传.现要设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?(链接教材P34例1)变式11.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的

3、容器.先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?例2一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?变式2甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应

4、以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.例3某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y关于x的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大变式某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x吨产品的成

5、本为R=50000+200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)例4本题满分12分)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记

6、CD

7、=2x,梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值.[规范与警示] (1)解答本题两个关键步骤①利用点C在椭圆上,用x表示y即梯形的高是本题的难点,也是一得分点.②由于S关于x的函数为无理函数,通过平方将其转化为熟悉且容易解决的多项式函数,可减少繁琐计算

8、,避免失分.(2)解答本题易误点:一是语言叙述不规范,二是用x表示出S后忽视定义域,三是由f′(x)=0求出x=,不说明函数单调性,直接利用S2=f()得出结果,步骤缺失.(3)利用导数解决优化问题时应注意①列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.②一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较四【目标检测】1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(

9、  )A.1秒末B.0秒C.2秒末D.0秒末或1秒末2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(  )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件3.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则围成的最大面积为(  )A.l2B.C.D.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关

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1、课题1.4 生活中的优化问题举例班级:__________姓名:__________小组号:_________一【学习目标】1.了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.2.掌握由实际问题建立数学模型,并表示为适当的函数关系式.(重点、难点)3.运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问题.(重点二【课前学习】1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为____________,通过前面的学习,我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具,运用________,可以解决一些生活中的____________.2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的

2、几个变量转化成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区间,而且其上有惟一的极值,则它就是函数的最值.3.解决优化问题的基本思路是:  →             ←上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程.三【例题与变式】例1面积、容积最大问题学校举行活动,要张贴海报进行宣传.现要设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?(链接教材P34例1)变式11.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的

3、容器.先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?例2一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?变式2甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应

4、以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.例3某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价格提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y关于x的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大变式某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x吨产品的成

5、本为R=50000+200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)例4本题满分12分)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记

6、CD

7、=2x,梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域;(2)求面积S的最大值.[规范与警示] (1)解答本题两个关键步骤①利用点C在椭圆上,用x表示y即梯形的高是本题的难点,也是一得分点.②由于S关于x的函数为无理函数,通过平方将其转化为熟悉且容易解决的多项式函数,可减少繁琐计算

8、,避免失分.(2)解答本题易误点:一是语言叙述不规范,二是用x表示出S后忽视定义域,三是由f′(x)=0求出x=,不说明函数单调性,直接利用S2=f()得出结果,步骤缺失.(3)利用导数解决优化问题时应注意①列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.②一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较四【目标检测】1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(

9、  )A.1秒末B.0秒C.2秒末D.0秒末或1秒末2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(  )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件3.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则围成的最大面积为(  )A.l2B.C.D.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关

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