高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法学案 新人教a版选修2-1

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1、广东省佛山市顺德区均安中学高中数学3.2.2立体几何中的向量方法学案新人教A版选修2-1【学习目标】会建立空间直角坐标系，用空间向量方法解决异面直线所成角，线面角、面面角的问题.【探索新知】1．异面直线所成角：设异面直线所成的角的取值范围是，直线的方向向量分别为，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]则：或终有cosθ＝

2、cosα

3、=___________________，如图：2．直线与平面所成角：设直线PA与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦为与关系为：___________

4、______________________3．平面与平面所成角：设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图4）或（图5）图4图5二面角─l─的大小为(),【基础自测】2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)．A．　B．－　C．　D．－3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A．B．C．D．4．直线l的方向向量与

5、平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成角等于(　　)．A．120°B．30°C．60°D．以上均不对2．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)．A．B．C．D．1．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是(　　)．A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°1．二面角α－l－β中，平面α的一个法向量n1＝，平面β的一个法向量n2＝，则二面

6、角α－l－β的大小为(　　)．A．120°　　　B．150°C．30°或150°D．60°或120°【合作学习】例1．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点.（1）求证：AN∥平面MBD;（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值;（3）求二面角M-BD-C的余弦值.例2．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)

7、求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．【检测反馈】3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(　　)．A．B．C．D．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，则C1O与A1D所成角的余弦值为(　　)．A．B．C．D．4．已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，E为OC的中点，且OA＝1，OB＝OC＝2，则平面EAB与平面A

8、BC夹角的余弦值是________．7．如图所示，ABCD为直角梯形，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a．AD＝2a，E是AD的中点，PA⊥平面ABCD，PA＝a，则PC和BE是否垂直__________(填“是”或“否”)．4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m＝(0,0,3)，n＝(2,1,2)，则这个锐二面角θ的余弦值为________．5．已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝．则二面角A－PB－C的余弦值_______．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB

9、1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为________．12.如图，在圆锥中，已知的直径的中点．（I）证明：（II）求二面角的余弦值．1．如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值．10．四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，(1)求BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．13.如图5，在直棱柱（I）证明：；

10、（II）求直线所成角的正弦值。2013·辽宁卷]如图1－4，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．图1－418．解：(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)方法一：过