高三数学总复习 第8讲 函数与方程学案 新人教a版

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1、山东省沂水县第一中学2014届高三数学总复习第8讲函数与方程学案新人教A版【2014年高考会这样考】1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数.2.利用函数零点求解参数的取值范围.3.利用二分法求方程的近似解.【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念,方程的根、函数与x轴的交点,三者之间的区别与联系,能够实现彼此之间的灵活转化,并能利用特殊点的函数值,根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间;(2)灵活运用函数图象,将函数零点转化为两个函数图象的交点,注重数形结合思想的应用.基础梳理1.函数的

2、零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>

3、0)零点的分布根的分布(m<n<p为常数)图象满足条件x1<x2<mm<x1<x2x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在(m,n)之间或f(m)·f(n)<03.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区

4、间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).④判断是否达到精确度ε.即:若

5、a-b

6、<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边看.同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精

7、确度上来判断.两个防范(1)函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点.(2)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不间断的,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,满足这些条件一定有零点,不满足这些条件也不能说就没有零点.如图,f(a)·f(b)>0,f(x)在区间(a,b)上照样存在零点,而且有两个.所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要.三种方法函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个

8、零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.双基自测1.(2011·福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(  ).A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,

9、+∞)解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式Δ>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2,故选C.答案 C2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点(  ).A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个答案 B3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(  ).A.①②B.①③C.①④D.③④答案 B4.(2011·新课标全国)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(  ).A.B.C.D.解析

10、 因为f=e+4×-3=e-2<0,f=e+4×-3=e-1>0,所以f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.答案 C5.(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围是________.解析 函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上递增.由已知条件f(0)f(1)<0,即a(a+2)<0,解得-2

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