高三数学总复习 第5讲 对数与对数函数学案 新人教a版

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1、山东省沂水县第一中学2014届高三数学总复习第5讲对数与对数函数学案新人教A版【2014年高考会这样考】1.考查对数函数的定义域与值域.2.考查对数函数的图象与性质的应用.3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质.4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响.基础梳理1.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga

2、N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN=N;②logaaN=N(a>0且a≠1).(2)对数的重要公式①换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1);②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;③logaM

3、n=nlogaM(n∈R);④logamMn=logaM.3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.一种思想对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明.两个防范解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取

4、值范围.三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0或1).(4)化同真数后利用图象比较.双基自测1.(2010·四川)2log510+log50.25=(  ). A.0B.1C.2D.4解析 原式=log5100+log50.25=log525=2.答案 C2.(人教A版教材习题改编)已知a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a,b,c的大小关系是(  ).A.a<b<cB.a<c<bC.b<

5、a<cD.c<a<b解析 将三个数都和中间量1相比较:0<a=log0.70.8<1,b=log1.10.9<0,c=1.10.9>1.答案 C3.(2012·黄冈中学月考)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(  ).A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)解析 设y=f(x),t=3x+1.则y=log2t,t=3x+1,x∈R.由y=log2t,t>1知函数f(x)的值域为(0,+∞).答案 A4.(2012·汕尾模拟)下列区间中,函数f(x)=

6、ln(2-x)

7、在其上为增函数的是(  ).A.(-∞,1]B.C.

8、D.[1,2)解析 法一 当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=

9、ln(2-x)

10、=ln(2-x),此时函数f(x)在(-∞,1]上单调递减.当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=

11、ln(2-x)

12、=-ln(2-x),此时函数f(x)在[1,2)上单调递增,故选D.法二 f(x)=

13、ln(2-x)

14、的图象如图所示.由图象可得,函数f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选D.答案 D5.若loga>1,则a的取值范围是________.答案  考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值:(1);(2)(lg5)2+lg50·lg2;(3)lg-lg+

15、lg.[审题视点]运用对数运算法则及换底公式.解 (1)原式==.(2)原式=(lg5)2+lg(10×5)lg=(lg5)2+(1+lg5)(1-lg5)=(lg5)2+1-(lg5)2=1.(3)法一 原式=(5lg2-2lg7)-×lg2+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=(lg2+lg5)=lg10=.法二 原式=lg-lg4+lg(7)=lg=lg=.对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行.在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程

16、中的等价性和对数式与指数式的互化.【训练1】(1)若2a=5b=10,求+的值.(2)若xlog34=1,求

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