高三数学总复习 第2讲 函数的单调性与最值学案 新人教a版

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1、山东省沂水县第一中学2014届高三数学总复习第2讲函数的单调性与最值学案新人教A版【2014年高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．s2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两

2、个自变量的值x1，x2定义当x1＜x2时，都有f(x1)＞当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函f(x2)，那么就说函数f(x)数f(x)在区间D上是增函数在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足①对于任意x∈I，都有①对于任意x∈I，都有条件f(x)≤M；f(x)≥M；.②存在x0∈I，使得f(x

3、0)②存在x0∈I，使得f(x0)＝＝MM.结论M为最大值M为最小值一个防范1函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)x内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么fx1－fx2fx1－fx2①＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．x1－x2x1－x2②(x1－x2)[f(x1)－f(x

4、2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函

5、数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为()．A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)答案Cx22．(2011·湖南)已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()．A．[2－2，2＋2]B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)22解析函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x＋4x－3＞－1.即x－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋2.答案B

6、1

7、3．(2012·保定一中

8、质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足fx

9、

10、

11、x

12、<1，解析由已知条件：x>1，不等式等价于解得－1

13、225．若x＞0，则x＋的最小值为________．x22解析∵x＞0，则x＋≥2x·＝22xx22当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，因此x＋的最小值为22.xx答案22考向一函数的单调性的判断x【例1】►试讨论函数f(x)＝的单调性．2x＋1[审题视点]可采用定义法或导数法判断．解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，x1x2x1－x21－x1x2都有f(x1)－f(x2)＝－＝，2222x1＋1x2＋1x1＋1x2＋122其中x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.①当x1，x2∈(－1,1)时，即

14、x1

15、＜1，

16、x2

17、＜

18、1，∴

19、x1x2

20、＜1，则x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，∴f(x)为增函数．②当x