高中数学 1.1.7柱锥台和球的体积二学案 北师大版必修2

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1、辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学1.1.7柱锥台和球的体积二学案北师大版必修2自主学习学习目标1．了解球的体积公式．2．会计算简单组合体的体积．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．自学导引1．球的表面积　设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．2．球的体积　设球的半径为R，则球的体积V＝__________.对点讲练　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　球的体积和表面积的计算例1　(1)球的体积是，则此球的表面积是(　　)A．12πB．16πC.D.(2)一个平面截一球得到直径为6cm的圆面，球心到这个平面的距离为4

2、cm，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3点评　遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解．变式训练1　球的截面把垂直于截面的直径分成1∶3的两段，若截面圆半径为，则球的体积为(　　)A．16πB.C.D．4π知识点二　有关几何体的外接球与内切球问题例2　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．点评　解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体

3、对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．变式训练2　有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．知识点三　综合应用例3　有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．点评　在处理与球有关的相

4、接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．变式训练3　一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课时作业　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)A．144π，144πB．144π，36πC．36π，1

5、44πD．36π，36π2．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)A．8∶27B．2∶3C．4∶9D．2∶93．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)A．1倍B．2倍C.倍D.倍4．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　)A．3πB．4πC．3πD．16π题　号1234答　案二、填空题5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为______．6．一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm，

6、则这个球的表面积是________．7．有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．三、解答题8．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？9．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．【答案解析】自学导引1．4πR2　4　2.πR3对点讲练例1　(1)B　[设球的半径为R，

7、则由已知得V＝πR3＝，R＝2.∴球的表面积S＝4πR2＝16π.](2)C　[由球的性质知，球的半径R＝＝5，∴V球＝×53＝(cm3)．]变式训练1　C　[设直径被分成的两段为x,3x；则球心O到截面的距离为x，球半径为2x，由勾股定理得：x2＋()2＝(2x)2，x＝1，球半径为2，所以V＝π·23＝π.]例2　解　方法一　作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.在Rt△C′CO中，由勾股定理，得C