2018版高中数学人教b版必修二学案1.1.7　柱锥、台和球的体积

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1、1.1.7　柱、锥、台和球的体积[学习目标]　1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.[知识链接]1.长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.2.棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.3.底面半径为r，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrl，表面积S＝2πrl＋2πr2.4.底面半径为r，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl.[预习导引]1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两

2、个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.2.柱、锥、台、球的体积其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥Sh圆锥πr2h台体棱台h(S＋＋S′)圆台πh(r2＋rr′＋r′2)7球πR3要点一　柱体的体积例1　某几何体三视图如图所

3、示，则该几何体的体积为(　　)A.8－2πB.8－πC.8－D.8－答案　B解析　这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－×π×12×2×2＝8－π.规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪演练1　一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7答案　4解析　此几何体是两个长方体的组合，故V＝2×1×1＋1×

4、1×2＝4.要点二　锥体的体积例2　如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.规律方法　三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是

5、一种重要的方法.跟踪演练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解　在三棱锥A1－ABD中，由题意知AA1为三棱锥的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，7∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴×a2·a＝××a×·a·d.∴d＝a.要点三　台体的体积例3　已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积.解　如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、

6、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形，由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，OE＝AB＝10，∴O1O＝＝12，V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).故正四棱台的体积为2800cm3.规律方法　求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.跟踪演练3　本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积.”解　如图，正四棱台AB

7、CDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2cm和4cm，则O1B1＝cm，OB＝2cm，7过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(2－)＝(cm).根据勾股定理MB1＝＝＝(cm).S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝××(4＋＋16)＝××28＝(cm3).要点四　球的体积例4　过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积.解　如图，设过A、B、C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.∵AB＝B

8、C＝CA＝3cm，∴O′