高三数学总复习 独立性检验的基本思想及其初步应用知识讲解

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1、独立性检验的基本思想及其初步应用【学习目标】1.了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用2.通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.【要点梳理】要点一、分类变量有一种变量，这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别，称这种变量为分类变量。要点诠释：（1）对分类变量的理解。这里的“变量”和“值”都应作为广义的“变量”和“值”进行理解。例如：“性别变量”有“男”和“女”两种类别，这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”。因此，这里所说的“变量”和“值”取的不一定是具体的数值。（2）分类变量可以有

2、多种类别。例如：吸烟变量有“吸烟”与“不吸烟”两种类别，而国籍变量则有多种类别。要点二、2×2列联表1.列联表用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。2.2×2列联表对于两个事件A，B，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示：事件B事件合计事件Aaba+b事件cdc+d合计a+cb+da+b+c+d这样的表格称为2×2列联表。要点三：卡方统计量公式为了研究分类变量X与Y的关系，经调查得到一张2×2列联表，如下表所示Y1Y2合计X1aba+bX2cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是：（为样本容量）。要点四

3、、独立性检验1.独立性检验通过2×2列联表，再通过卡方统计量公式计算的值，利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。2.变量独立性的判断通过对统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841和6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：①如果≤3.841时，认为事件A与B是无关的。②如果＞3.841时，有95%的把握说事件A与事件B有关；③如果＞6.635时，有99%的把握说事件A与事件B有关；要点诠释：（1）独立性检验一般是指通过计算统计量的大小对两个事件是否有关进行判断；（2）独立性检

4、验的基本思想类似于反证法。即在H0：事件A与B无关的统计假设下，利用统计量的大小来决定在多大程度上拒绝原来的统计假设H0，即拒绝“事件A与B无关”，从而认为事件A与B有关。独立性检验为假设检验的特例。（3）利用独立性检验可以考察两个分类变量是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度。3．独立性检验的基本步骤及简单应用独立性检验的步骤：要推断“A与B是否有关”，可按下面步骤进行：（1）提出统计假设H0：事件A与B无关（相互独立）；（2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于5）；（3）列出2×2列联表；（4）根据2×2列联表，利用公式：，计算出的值；（5）统计推

5、断：当＞3.841时，有95％的把握说事件A与B有关；当＞6.635时，有99％的把握说事件A与B有关；当＞10.828时，有99.9％的把握说事件A与B有关；当≤3.841时，认为事件A与B是无关的．要点诠释：①使用统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5．①一定要弄清的表达式中各个量的含义．②独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量应该很小，如果由观测数据计算得到的的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随

6、机变量的含义，由实际计算的＞6.635，说明假设不合理的程度约为99％，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99％．当≤3.841时，认为两个分类变量是无关的．【典型例题】类型一、利用2×2列联表计算卡方例1．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取了50名学生，得到如下列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男131023女72027合计203050根据表中的数据，计算【思路点拨】利用公式计算【解析】得到【思路点拨】在利用列联表计算统计量作独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点。举一反三

7、：【变式1】研究两个事件A，B之间的关系时，根据数据信息列出如下的2×2列联表：B合计An11n12n1+n21n22n2+合计n+1n+2n则以下计算公式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【变式2】由列联表合计4316220513121134合计56283339则随机变量。（精确到0.001）【答案】由公式计算得：7.469类型二、独立性检验例2．近年来，随着我国经济的飞速发展，在生产车间中，由于保护不当，对生产工人造成伤害的事件也越来越多．某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎（注：检查为阳性则为患皮肤炎