高三数学总复习 回归分析的基本思想及其初步应用知识讲解

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1、回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1.通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。2.能作出散点图，能求其回归直线方程。3.会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1.变量与变量间的两种关系：（1）函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S与半径r之间的关系S=πr2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。

2、例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．2.相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量；（2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．3.散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4.回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。要点二、线性回归方

3、程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。2．回归直线方程对于一组具有线性相关关系的数据，，……，，其回归直线的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，其中表示数据xi（i=1，2，…，n）的均值，表示数据yi（i=1，2，…，n）的均值，表示数据xiyi（i=1，2，…，n）的均值．、的意义是：以为基数，x每增加一个单位，y相应地平均变化个单位．要点诠释：①回归系数，也可以表示为，这样更便于实际计算。②；。③称为样本中心点，回归直线必经过样

4、本中心点。④回归直线方程中的表示x增加1个单位时的变化量，而表示不随x的变化而变化的量。3．求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系，若存在线性相关关系，进行第二步。②求回归系数、计算，，，，利用公式求出，再由求出的值；③写出回归直线方程；④利用回归直线方程预报在x取某一个值时y的估计值。要点诠释：一般地，我们可以利用回归直线方程进行预测，但这里所得到的值是预报值，而不是精确值，它带有很大的随机性，可能对于某一次的实际值而言会有很大的出入，这是因为：（1）回归直线的截距和斜率

5、都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差。（2）即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能保证对应于x的预报值能够与实际值y很接近。我们不能保证点（x，y）落在回归直线上，甚至不能保证它落在回归直线的附近，事实上，，这里是随机变量，预报值与实际值y的接近程度由随机变量决定。尽管我们利用回归直线方程所得到的值仅是一个预报值，它具有随机性，但它是我们根据统计规律所得到的结论，因而结论正确的概率很大。故我们可以放心地利用回归直线方程进行预测。要点三、相关性检验（1）相关系数r的定义对于变量x与y随机抽取到的n

6、对数据，，……，，称为x与y的样本相关系数。（2）相关系数r的作用样本相关系数r用于衡量两个变量之间是否具有线性相关关系，描述线性相关关系的强弱：①越接近1，表明两个变量之间的线性相关程度越强；越接近0，表明两个变量之间的线性相关程度越弱。②当r＞0时，表明两个变量正相关，即x增加，y随之相应地增加，若x减少，y随之相应地减少．当r＜0时，表明两个变量负相关，即x增加，y随之相应地减少；若x减少，y随之相应地增加．若r=0，则称x与y不相关。③当，认为x与y之间具有很强的线性相关关系。④当大于时，表明有95%的把握认为x与y之

7、间具有线性相关关系，这时求回归直线方程有必要也有意义，当时，寻找回归直线方程就没有意义。（3）利用相关系数r检验的一般步骤：法一：①作统计假设：x与y不具有线性相关关系。②根据样本相关系数计算公式算出r的值。③比较与0.75的大小关系，得出统计结论。如果，认为x与y之间具有很强的线性相关关系。法二：①作统计假设：x与y不具有线性相关关系。②根据样本相关系数计算公式算出r的值。③根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r的一个临界值（n未数据的对数）。④比较与，作统计推断，如果，表明有95%的把握认为x与y之间具有

8、线性相关关系。如果，我们没有理由拒绝原来的假设，即不认为x与y之间具有线性相关关系。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。要点四、线性回归分析与非线性回归分析1．线性回归分析对于回归分析问题，在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x与y是否具有线性相关关系，如果线性相关，才能求